Um cilindro de vidro com 200 mm de comprimento e diâmetro de 10 mm foi ensaiado a compressão para determinação da tensão de ruptura. O valor obtido do ensaio será correto? Discuta.
Passo 1
O enunciado dá um cilindro de vidro com comprimento L=200\\ \text{mm} e diâmetro d=10\\ \text{mm} e diz que esse cilindro foi ensaiado à compressão para determinar a tensão de ruptura. A pergunta é: o valor obtido nesse ensaio será correto?\n\nInformações relevantes fornecidas:\n- L=200\\ \text{mm}\n- d=10\\ \text{mm}\n- Material: vidro (brittle, sem escoamento plástico)\n- Ensaio: compressão uniaxial até ruptura\n\nA tarefa é discutir se o resultado do ensaio realmente representa a resistência compressiva do vidro, usando os dados acima.
Passo 2
Por que isso pode dar errado? Vou explicar dois conceitos fundamentais, devagarinho:\n\n1) Instabilidade elástica (flambagem) de colunas: uma coluna comprida sujeita a compressão pode perder estabilidade antes do material atingir sua resistência compressiva. A flambagem elástica é prevista pela fórmula de Euler para a carga crítica de flambagem. Se a tensão equivalente ao carregamento crítico de flambagem for menor que a resistência compressiva do material, a coluna vai flambear (falhar por instabilidade), e não por esmagamento do material — logo, o ensaio não mede a resistência compressiva real.\n\n2) Razão de esbeltez e condições de apoio: a propensão à flambagem depende da esbeltez da peça e de como suas extremidades estão apoiadas (se podem girar ou são engastadas). Essas duas quantidades aparecem na fórmula através do comprimento efetivo K L e do raio de giração r. Vou agora definir essas grandezas e mostrar como calcular.
Passo 3
Definições e fórmulas necessárias (com explicação do que significa cada símbolo):\n\n- E: módulo de elasticidade do material (rigidez). Para vidro comum, um valor típico é E\approx 70\\ \text{GPa} (ou 70\,000\\ \text{MPa}).\n- I: momento de inércia da seção transversal (para circular: I=\dfrac{\pi d^{4}}{64}).\n- A: área da seção (para circular: A=\dfrac{\pi d^{2}}{4}).\n- raio de giração r definido por r=\sqrt{\dfrac{I}{A}}. Esse parâmetro mede a “distribuição” da área e é usado para avaliar esbeltez.\n- comprimento efetivo K L: produto do coeficiente de apoio K (depende das condições nas extremidades) pelo comprimento geométrico L. Valores típicos: K=1{,}0 (pinos/pinos), K=0{,}7 (pino/engastado) e K=0{,}5 (engastado/engastado).\n- razão de esbeltez adimensional \dfrac{K L}{r}.\n- tensão crítica de flambagem (Euler): \sigma_{\mathrm{cr}}=\dfrac{\pi^{2} E}{\left(\dfrac{K L}{r}\right)^{2}}.\n\nVou calcular r para nossa seção circular.
Passo 4
Cálculo do raio de giração r para seção circular (passo a passo):\n\nI=\dfrac{\pi d^{4}}{64}\n\nA=\dfrac{\pi d^{2}}{4}\n\nLogo\nr=\sqrt{\dfrac{I}{A}}=\sqrt{\dfrac{\dfrac{\pi d^{4}}{64}}{\dfrac{\pi d^{2}}{4}}} =\sqrt{\dfrac{d^{2}}{16}}=\dfrac{d}{4}.\n\nPara d=10\\ \text{mm} temos\nr=\dfrac{10\\ \text{mm}}{4}=2{,}5\\ \text{mm}.
Passo 5
Calcular a razão de esbeltez \dfrac{K L}{r} numericamente para casos típicos de apoio: primeiro expresso a fórmula em função de L e d:\n\nComo r=d/4,\n\dfrac{K L}{r}=\dfrac{K L}{d/4}=4K\,\dfrac{L}{d}.\n\nCom L/d=\dfrac{200}{10}=20 obtemos:\n- para K=1{,}0 (pinos/pinos): \dfrac{K L}{r}=4\cdot 1{,}0\cdot 20=80.\n- para K=0{,}7 (pino/engastado): \dfrac{K L}{r}=4\cdot 0{,}7\cdot 20=56.\n- para K=0{,}5 (engastado/engastado): \dfrac{K L}{r}=4\cdot 0{,}5\cdot 20=40.\n\nOu seja, a peça é bastante esbelta (esbeltez muito alta: 40–80 dependendo de K).
Passo 6
Usar a fórmula de Euler para obter a tensão crítica \sigma_{\mathrm{cr}}. Vou usar E=70\\ \text{GPa}=70\,000\\ \text{MPa} (valor típico para vidro) e calcular \sigma_{\mathrm{cr}} para os três casos de K acima.\n\nFórmula:\n\sigma_{\mathrm{cr}}=\dfrac{\pi^{2}E}{(K L / r)^{2}}.\n\nCálculos:\n- para K=1{,}0 ( (K L/r)=80 ):\n\sigma_{\mathrm{cr}}=\dfrac{\pi^{2}\cdot 70\,000}{80^{2}} \approx \dfrac{9{,}8696\cdot 70\,000}{6{,}400} \approx 108\\ \text{MPa}.\n\n- para K=0{,}7 ( (K L/r)=56 ):\n\sigma_{\mathrm{cr}}\approx \dfrac{9{,}8696\cdot 70\,000}{56^{2}} \approx 220\\ \text{MPa}.\n\n- para K=0{,}5 ( (K L/r)=40 ):\n\sigma_{\mathrm{cr}}\approx \dfrac{9{,}8696\cdot 70\,000}{40^{2}} \approx 432\\ \text{MPa}.\n\nInterpretação: a tensão que causa flambagem depende fortemente de K. Para condições de apoio que permitem rotação (K\approx1) a tensão crítica é apenas cerca de 108\\ \text{MPa}. Para extremidades praticamente engastadas (K\approx0{,}5) sobe para cerca de 432\\ \text{MPa}.
Passo 7
Comparação com a resistência do vidro e conclusão física:\n\n- Valores típicos: o vidro é muito mais resistente à compressão do que à tração. Resistência compressiva típica do vidro pode ficar na ordem de algumas centenas até ~1000\\ \text{MPa} dependendo do tipo e das condições de superfície. A resistência à tração é bem menor (ordens de dezenas de MPa) por causa de defeitos superficiais.\n\n- Se a resistência compressiva real do vidro for maior que \sigma_{\mathrm{cr}} do conjunto (o que é provável para K\ge 0{,}7 ou 1{,}0), então a peça não atingirá essa resistência: ela vai flambear primeiro. Logo, o resultado do ensaio irá refletir a carga de flambagem (ou uma falha combinada por flambagem + fratura por tração devido a curvatura) e não a resistência compressiva intrínseca do material.\n\n- Além da flambagem há outros problemas práticos que invalidam a medição direta da resistência compressiva do vidro com essa geometria: efeito de atrito entre placas e amostra (que pode gerar estados triaxiais e barreling), má centralização e pequenas imperfeições que introduzem flexão e falha por tração em pontos frágeis. Para materiais frágeis esses detalhes são críticos.\n\nPortanto, com L/d=20 a probabilidade de obter um valor que represente a resistência compressiva verdadeira do vidro é baixa — muito provavelmente o ensaio dará um valor influenciado por flambagem ou por problemas de alinhamento/atrito.
Passo 8
O que deveria ser feito para medir corretamente a resistência compressiva do vidro (recomendações práticas para prova):\n\n- Usar amostras “curtas”: recomenda-se L/d pequeno (tipicamente da ordem de 1 a 2 para ensaios compressivos de materiais frágeis), por exemplo L\approx 2d=20\\ \text{mm}, para evitar flambagem.\n- Preparar e retificar as faces terminais (capping) para garantir contato plano e evitar concentrações de tensão; usar lubrificação ou folhas de plástico entre platina e amostra para reduzir atrito e distribuir melhor tensões.\n- Garantir alinhamento preciso das platinas para evitar momentos fletores.\n- Alternativa: testar pequenas amostras apoiadas lateralmente ou usar métodos indiretos (por exemplo ensaio diametral/“Brazilian” para materiais fracos em tração) dependendo do objetivo.\n\nCom essas medidas obtém-se um resultado que realmente representa a resistência compressiva do material e não efeitos de instabilidade ou de contato.
Resposta
Não — o valor obtido provavelmente não será correto. Com L/d=20 a peça é esbelta e a flambagem/elástica instabilidade (ou falha por flexão associada a imperfeições e atrito) ocorrerá antes do esmagamento do material, de modo que o ensaio não mede a resistência compressiva verdadeira do vidro.