Considere um arame cilíndrico de níquel com 2 mm de diâmetro e 3000 mm de comprimento. Calcule seu alongamento quando uma carga de 300 N é aplicada. Assuma que a deformação é totalmente elástica. Dado E,Ni = 207 GPa.
tensão = E.e , e=DeltaL/Lo
Combinando as fórmulas temos:
Delta L = tensãoxLo/E
Substituindo os dados do problema, temos: Delta \mathrm{L}=1,38 \mathrm{~mm}

Passo 1

O enunciado pede o alongamento do arame quando uma carga é aplicada. Dados fornecidos (vou listá-los exatamente):
\text{diâmetro } d = 2\\ \mathrm{mm}â
\text{comprimento inicial } L_0 = 3000\\ \mathrm{mm}
\text{força } F = 300\\ \mathrm{N}ç
\text{módulo de Young do níquel } E = 207\\ \mathrm{GPa}óí
O que pedimos: calcular \Delta L, o alongamento (deformação linear) causada por F. A hipótese do enunciado: deformação totalmente elástica.

Passo 2

Conceitos importantes (explicação didática, sem pular etapas):
  • Tensão (stress): é a força por unidade de área que age no material. Fórmula:
\sigma = \frac{F}{A}
onde \sigma é a tensão (em \mathrm{Pa}), F é a força (em \mathrm{N}) e A é a área da secção transversal (em \mathrm{m}^2). A ideia: quanto menor a área, maior a tensão para a mesma força.
  • Deformação (strain): é a mudança relativa no comprimento:
\varepsilon = \frac{\Delta L}{L_0}
onde \varepsilon é adimensional, \Delta L é o alongamento (em \mathrm{m}) e L_0 é o comprimento inicial (em \mathrm{m}).
  • Lei de Hooke (no regime elástico linear): tensão e deformação são proporcionais através do módulo de Young E:
\sigma = E\,\varepsilon
onde E mede a rigidez do material (em \mathrm{Pa}).
Essas três fórmulas juntas nos permitem ligar F e \Delta L.

Passo 3

Vamos manipular as fórmulas para isolar \Delta L.
A partir de \sigma = E\varepsilon e \varepsilon = \dfrac{\Delta L}{L_0} temos
\sigma = E\frac{\Delta L}{L_0}.
Substituindo \sigma = \dfrac{F}{A} obtemos
\frac{F}{A} = E\frac{\Delta L}{L_0}.
Isolando \Delta L,
\boxed{\Delta L = \frac{F\,L_0}{A\,E}}.
Essa é a fórmula prática que vamos usar. Note: todas as grandezas devem estar no sistema SI (metros, newtons, pascals) para dar \Delta L em metros.

Passo 4

Calcular a área da secção transversal do arame (é circular). Primeiro converto unidades para metros:
d = 2\\ \mathrm{mm} = 2\cdot10^{-3}\\ \mathrm{m},\quad r=\frac{d}{2}=1\cdot10^{-3}\\ \mathrm{m}.
Área:
A = \pi r^2 = \pi\left(1\cdot10^{-3}\right)^2 = \pi\cdot10^{-6}\\ \mathrm{m}^2.
Numericamente,
A \approx 3{,}1416\times10^{-6}\\ \mathrm{m}^2.

Passo 5

Calcular a tensão \sigma (apenas para entender a ordem de grandeza; não é obrigatório se usamos a fórmula direta, mas é bom didaticamente):
\sigma = \frac{F}{A} = \frac{300\\ \mathrm{N}}{3{,}1416\times10^{-6}\\ \mathrm{m}^2}
\sigma \approx 9{,}5493\times10^{7}\\ \mathrm{Pa}.
(Isto corresponde a cerca de 95{,}5\\ \mathrm{MPa}.)

Passo 6

Calcular a deformação \varepsilon pela lei de Hooke:
\varepsilon = \frac{\sigma}{E}=\frac{9{,}5493\times10^{7}}{207\times10^{9}}
\varepsilon \approx 4{,}6146\times10^{-4}=0{,}00046146.
Essa é uma deformação pequena (o que faz sentido no regime elástico).

Passo 7

Calcular o alongamento \Delta L:
Converto L_0 para metros:
L_0 = 3000\\ \mathrm{mm} = 3\\ \mathrm{m}.
Agora
\Delta L = \varepsilon L_0 = 4{,}6146\times10^{-4}\times 3\\ \mathrm{m}
\Delta L \approx 1{,}3844\times10^{-3}\\ \mathrm{m} = 1{,}3844\\ \mathrm{mm}.
Arredondando com duas casas decimais (como no seu enunciado): \Delta L \approx 1{,}38\\ \mathrm{mm}.

Passo 8

Comentário rápido e motivador: o valor encontrado é pequeno (cerca de 0{,}046\% do comprimento), consistente com um regime elástico linear. Ótimo — você já tinha chegado ao mesmo número! Continua firme, esse tipo de conta dá pra fazer rápido na prova se você seguir a sequência: converter unidades → área → usar \Delta L = \dfrac{F L_0}{A E}.

Resposta

\Delta L = 1{,}38\\ \mathrm{mm}

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