(5,0) Cinco vigas com dimensões de 15 \times 30 \times 300 \mathrm{~cm} foram calculadas em concreto armado com resistência característica a compressão de 30 MPa . Pede-se:
a) Determinar o traço do concreto em massa (Utilizar o método da ABCP).
b) Determinar a quantidade de materiais, em kg, necessários para a moldagem das cinco vigas (considerar uma perda total de 10 \% nos materiais)
Dados: - Consistência medida através do slump: 90+/-10 \mathrm{~mm};
-Ambiente de agressividade forte (área de marinha).

DADOS PARA AS QUESTÕES 1 E 2:

Massa específica \left(\mathrm{g} / \mathrm{cm}^{3}\right) Cimento CP IIF - 32 MPa Areia Brita
Massa unitária compactada \left(\mathrm{g} / \mathrm{cm}^{3}\right) 3,10 2,50 2,70
Diâmetro (\mathrm{mm}) 1,50 1,40
Módulo de finura 19,0
Absorção de água (\%) 2,60
Teor de água (\%) 1,5 0,8
Inchamento (\%) 4,5 0,5

Passo 1

O enunciado pede duas coisas e fornece vários dados. Vou listar claramente o que é pedido e todas as informações relevantes que temos.
O que se pede:
  • (a) Determinar o traço do concreto em massa (usar o método ABCP).
  • (b) Determinar a quantidade de materiais, em kg, necessários para moldar as cinco vigas, considerando perda total de 10\%.
Dados do problema (peguei todos estes do enunciado):
  • Dimensões de cada viga: 15\times30\times300\\ \mathrm{cm}.
  • Número de vigas: 5.
  • Concreto com resistência característica f_{ck}=30\\ \mathrm{MPa}.
  • Consistência (slump): 90\pm10\\ \mathrm{mm}.
  • Ambiente: agressividade forte (marinha).
  • Materiais (valores fornecidos na tabela):
    • Massa específica (densidade) (g/cm ^3): cimento \rho_c=3{,}10, areia \rho_s=2{,}50, brita \rho_g=2{,}70. (Vou usar em kg/m ^3 multiplicando por 1000.)
    • Diâmetro máximo da brita: \,19\\ \mathrm{mm} (extraído da tabela).
    • Absorção de água da areia: A_s=2{,}6\%.
    • Teor de água (umidade) da areia: u_s=1{,}5\%.
    • Absorção da brita: A_g=0{,}5\%.
    • Teor de água da brita: u_g=0{,}8\%.
    • (Não foi informado módulo de finura da areia explicitamente; por isso adotarei um procedimento ABCP típico com divisão areia/ brita por volume compatível com areia de granulometria média — justificarei isso adiante.)
Observações importantes (do método ABCP / prática):
  • Para projeto pelo método ABCP precisamos escolher: teor de água (kg/m ^3) para a consistência e diâmetro máximo da brita; razão água/cimento (w/c) adequada para f_{ck} e ambiente agressivo; conteúdo de ar (percentual); e a divisão areia/brita por volume (pela granulometria).
  • Vou explicar e justificar cada escolha ao longo da resolução; se algo não for expressamente dado (ex.: curva de granulometria completa), usarei valores típicos recomendados pelo método ABCP para as condições dadas (slump, d_{max}=19 mm, agressividade marinha).

Passo 2

Escolha da razão água/cimento (w/c) e do teor de água pelo método ABCP — explicação didática.
O que diz a ideia geral do ABCP (em palavras simples):
  • Para um dado f_{ck} e condição de exposição, a durabilidade impõe limites máximos para w/c e limites mínimos para teor de cimento. Em ambientes agressivos (marinha, forte) convém reduzir w/c e/ou aumentar o teor de cimento.
  • Para f_{ck}=30\\ \mathrm{MPa} e ambiente marinho forte, um valor prudente de w/c fica tipicamente em torno de 0{,}45 a 0{,}55 dependendo do cimento. Vou adotar um valor intermediário e prático muito usado: \,w/c=0{,}50. Justificativa prática: combina resistência adequada para 30\\ \mathrm{MPa} e permite um teor de cimento compatível com durabilidade em marinho sem quantidades excessivas de cimento. (No ABCP real usa-se tabela que dá o máximo w/c para cada exposição; 0{,}50 é compatível com exposição forte.)
  • Agora precisamos do teor de água (kg/m ^3) que dá o abatimento (slump) pedido com brita d_{max}=19\\ \mathrm{mm}. Existem tabelas ABCP: para brita 20\\ \mathrm{mm} e abatimento em torno de 80 100\\ \mathrm{mm} o teor de água típico é da ordem de 180 a 200\\ \mathrm{kg/m^3}. Vou escolher um valor representativo: W_{\text{efetiva}}=190\\ \mathrm{kg/m^3}(isto é a água efetiva no traço, usada no cálculo do w/c.)
Com isto, calculamos a massa de cimento por metro cúbico pela relação básica:
C=\frac{W_{\text{efetiva}}}{(w/c)}=\frac{190}{0{,}50}=380\\ \mathrm{kg/m^3}.
Explicação curta do porquê: (w/c) é a razão entre a massa de água efetiva que participa da mistura e a massa de cimento (ambas em kg por m ^3). Assim C=W/(w/c).
Portanto, por enquanto temos:
  • \displaystyle W_{\text{efetiva}}=190\\ \mathrm{kg/m^3} (água necessária efetiva),
  • \displaystyle w/c=0{,}50,
  • \displaystyle C=380\\ \mathrm{kg/m^3}.

Passo 3

Converter massas em volumes (método de volumes absolutos) para encontrar quanto de agregados cabe por metro cúbico — explicação e cálculos.
Conceitos e fórmulas que usarei:
  • Volume ocupado por uma massa m de material com densidade \rho é V=\dfrac{m}{\rho}.
  • Densidades (convertendo g/cm ^3 para kg/m ^3): \rho_c=3100\\ \mathrm{kg/m^3}, \rho_s=2500\\ \mathrm{kg/m^3}, \rho_g=2700\\ \mathrm{kg/m^3}. Água \rho_w=1000\\ \mathrm{kg/m^3}.
  • Vou também considerar um teor de ar usual para concreto vibrado não intencional: V_a=2\% (ou 0{,}02 em fração), típico em concretos convencionais; isso significa que do volume total de 1\\ \mathrm{m^3} 0{,}02\\ \mathrm{m^3} de ar.
  • Volume da pasta (cimento + água): V_p = V_c + V_w, onde V_c=C/\rho_c e V_w=W/\rho_w.
  • Volume disponível para os agregados (somados) é V_{\text{agg}}=1 - V_a - V_p.
  • Divisão areia/brita: na ausência de curva fina explícita, para brita d_{max}=19\\ \mathrm{mm} e areia média, uma divisão por volume com proporção areia:{agregado total} típica é cerca de 35–45% de areia pelo volume de agregado; vou adotar p_s=0{,}40 (40% do volume de agregados é areia) — justificativa: granulometria média permite esse equilíbrio para boa trabalhabilidade e consumo de cimento compatível com slump 90 mm.
Cálculos passo a passo:
  1. Volume do cimento:
V_c=\frac{C}{\rho_c}=\frac{380}{3100}=0{,}12258065\\ \mathrm{m^3}.
  1. Volume da água efetiva:
V_w=\frac{W_{\text{efetiva}}}{\rho_w}=\frac{190}{1000}=0{,}19\\ \mathrm{m^3}.
  1. Volume da pasta:
V_p=V_c+V_w=0{,}12258065+0{,}19=0{,}31258065\\ \mathrm{m^3}.
  1. Volume de ar assumido:
V_a=0{,}02\\ \mathrm{m^3}.
  1. Volume disponível para agregados (areia + brita):
V_{\text{agg}}=1 - V_a - V_p = 1 - 0{,}02 - 0{,}31258065 = 0{,}66741935\\ \mathrm{m^3}.
  1. Divisão areia/brita por volume:
V_s = p_s\cdot V_{\text{agg}} = 0{,}40\cdot 0{,}66741935 = 0{,}26696774\\ \mathrm{m^3},
V_g = V_{\text{agg}} - V_s = 0{,}66741935 - 0{,}26696774 = 0{,}40045161\\ \mathrm{m^3}.
  1. Massas secas (massa seca dos agregados) usando as densidades:
m_{s,\text{seca}} = V_s\cdot \rho_s = 0{,}26696774\cdot 2500 = 667{,}41935\\ \mathrm{kg}.
m_{g,\text{seca}} = V_g\cdot \rho_g = 0{,}40045161\cdot 2700 = 1081{,}218\\ \mathrm{kg}.
Esses são os valores de areia e brita em massa “seca” correspondendo aos volumes ocupados por elas no concreto fresco.

Passo 4

Correção por absorção e teor de água (moisture) — cálculo do volume/água de dosagem e da água de batelada.
Explicação didática:
  • A massa de água que participa do traço (a água efetiva W_{\text{efetiva}}) é aquela que está realmente disponível na pasta para o cimento (afeta w/c). Porém, parte da água pode ficar “presa” dentro dos agregados (absorção) e outra parte pode vir já presente nos agregados (umidade), reduzindo a necessidade de adicionar água na betoneira. Para fazer a dosagem precisamos calcular a água de batelada (a água que será efetivamente pesada na usina/obra).
  • Fórmula prática usada:
W_{\text{bat}} = W_{\text{efetiva}} + \sum(\text{absorção}_i) - \sum(\text{água presente nos agregados})çãá
onde as somas percorrem areia e brita.
Cálculos (utilizando os dados fornecidos):
  • Absorção (kg) = A_i\cdot m_{i,\text{seca}}, com A em fração.
\text{Absorção total} = A_s\cdot m_{s,\text{seca}} + A_g\cdot m_{g,\text{seca}}.çã
Substituindo:
\text{Abs}_s = 0{,}026\cdot 667{,}41935 = 17{,}3529\\ \mathrm{kg},
\text{Abs}_g = 0{,}005\cdot 1081{,}218 = 5{,}40609\\ \mathrm{kg}.
\text{Absorção total} = 17{,}3529 + 5{,}40609 = 22{,}75899\\ \mathrm{kg}.çã
  • Água presente nos agregados (devida ao teor de umidade u, também em fração do seco):
\text{Água nos agregados} = u_s\cdot m_{s,\text{seca}} + u_g\cdot m_{g,\text{seca}}.Á
\text{Água}_s = 0{,}015\cdot 667{,}41935 = 10{,}0113\\ \mathrm{kg},Á
\text{Água}_g = 0{,}008\cdot 1081{,}218 = 8{,}64974\\ \mathrm{kg}.Á
\text{Água nos agregados} = 10{,}0113 + 8{,}64974 = 18{,}66104\\ \mathrm{kg}.Á
  • Água de batelada (a água que de fato será pesada na obra):
W_{\text{bat}} = W_{\text{efetiva}} + (\text{Absorção total}) - (\text{Água nos agregados}).çãÁ
W_{\text{bat}} = 190 + 22{,}75899 - 18{,}66104 = 194{,}09795\\ \mathrm{kg/m^3}.
Arredondando: \displaystyle W_{\text{bat}} \approx 194{,}10\\ \mathrm{kg/m^3}.
Interpretação: adicionamos um pouco mais de água na batelada para compensar a água que os grãos secos vão “engolir”; como os agregados já têm um pouco de umidade, essa água reduz o que é preciso colocar — o cálculo combina ambos os efeitos.

Passo 5

Determinar as massas úmidas (a receber na dosagem) de areia e brita — explicação e cálculo.
Conceito: massa úmida a ser pesada em obra para cada agregado é a massa seca multiplicada por 1+u, onde u é o teor de umidade (fração).
Cálculos:
m_{s,\text{úmida}} = m_{s,\text{seca}}\cdot(1+u_s) = 667{,}41935\cdot(1+0{,}015)=677{,}43064\\ \mathrm{kg/m^3}.ú
m_{g,\text{úmida}} = m_{g,\text{seca}}\cdot(1+u_g) = 1081{,}218\cdot(1+0{,}008)=1089{,}86774\\ \mathrm{kg/m^3}.ú
Resumo final por metro cúbico (valores arredondados para facilidade prática):
  • Cimento: \,C=380{,}0\\ \mathrm{kg/m^3}.
  • Água efetiva: \,W_{\text{efetiva}}=190{,}0\\ \mathrm{kg/m^3} (usada para w/c).
  • Água de batelada: \,W_{\text{bat}}=194{,}10\\ \mathrm{kg/m^3}.
  • Areia (úmida para dosagem): \,m_{s,\text{úmida}}=677{,}43\\ \mathrm{kg/m^3}ú.
  • Brita (úmida para dosagem): \,m_{g,\text{úmida}}=1089{,}87\\ \mathrm{kg/m^3}ú.
Também é comum apresentar o traço na forma relativa por 1 parte de cimento (traço em massa):
\text{traço} = 1 : \frac{m_{s,\text{seca}}}{C} : \frac{m_{g,\text{seca}}}{C} : \frac{W_{\text{efetiva}}}{C}.ç
Calculando razões com base em massa seca de agregados e água efetiva:
\frac{m_{s,\text{seca}}}{C}=\frac{667{,}42}{380}=1{,}78\quad(\text{areia}),
\frac{m_{g,\text{seca}}}{C}=\frac{1081{,}22}{380}=2{,}87\quad(\text{brita}),
\frac{W_{\text{efetiva}}}{C}=\frac{190}{380}=0{,}50\quad(\text{água}).á
Logo o traço (em partes por massa) fica aproximadamente:
\boxed{1 : 1{,}78 : 2{,}87 : 0{,}50}
(quando a referência é 1 de cimento). Em massas por metro cúbico: \,380 : 667{,}42 : 1081{,}22 : 190 kg (seca para agregados, água efetiva para água). Para dosagem prática (o que se pesa na obra) usar as massas úmidas de areia e brita e a água de batelada.

Passo 6

Calcular volumes e massas para as cinco vigas e aplicar perda total de 10\% — passo a passo.
  1. Volume de uma viga:
    Convertendo dimensões para metros: 0{,}15\\ \mathrm{m}\times 0{,}30\\ \mathrm{m}\times 3{,}00\\ \mathrm{m}.
V_{\text{viga}} = 0{,}15\cdot 0{,}30\cdot 3{,}00 = 0{,}135\\ \mathrm{m^3}.
  1. Volume para 5 vigas:
V_{5} = 5\cdot 0{,}135 = 0{,}675\\ \mathrm{m^3}.
  1. Acrescentar perda total de 10\%:
V_{\text{total}} = V_{5}\cdot(1+0{,}10) = 0{,}675\cdot 1{,}10 = 0{,}7425\\ \mathrm{m^3}.
  1. Multiplicar as massas por metro cúbico pelos \,0{,}7425\\ \mathrm{m^3} para obter os kg necessários (valores que se pesarão em obra):
  • Cimento:
M_C = 380{,}0\cdot 0{,}7425 = 282{,}15\\ \mathrm{kg}.
  • Água de batelada (a pesar):
M_W = 194{,}09795\cdot 0{,}7425 = 144{,}12\\ \mathrm{kg}.
  • Areia (massa úmida a ser pesada):
M_s = 677{,}43064\cdot 0{,}7425 = 503{,}02\\ \mathrm{kg}.
  • Brita (massa úmida a ser pesada):
M_g = 1089{,}86774\cdot 0{,}7425 = 809{,}92\\ \mathrm{kg}.
Arredondando para números práticos (arredondar conforme prática do canteiro, por exemplo para 1 casa decimal ou inteiro):
  • M_C \approx 282{,}2\\ \mathrm{kg}.
  • M_W \approx 144{,}1\\ \mathrm{kg}.
  • M_s \approx 503{,}0\\ \mathrm{kg}.
  • M_g \approx 809{,}9\\ \mathrm{kg}.
Comentário: a soma destas massas (mais eventuais aditivos) resultará aproximadamente no peso total do concreto necessário (em torno de 2341\\ \mathrm{kg/m^3} vezes o volume, consistente com os cálculos).

Passo 7

Resumo final didático — como usar isso na obra/prova e pontos de atenção.
  • Traço (ABCP) escolhido e justificado:
    • w/c=0{,}50 por exigência de f_{ck}=30\\ \mathrm{MPa} em ambiente marinho forte (prática ABCP).
    • Teor de água efetiva W_{\text{efetiva}}=190\\ \mathrm{kg/m^3} para slump 90\pm10\\ \mathrm{mm} com brita 19\\ \mathrm{mm}.
    • Assim C=380\\ \mathrm{kg/m^3}.
  • Como apresentar o traço na prova/obra:
    • Em partes (por 1 parte de cimento): \,1 : 1{,}78 : 2{,}87 : 0{,}50 (cimento : areia : brita : água efetiva).
    • Em massas por metro cúbico (agregados secos): C=380\\ \mathrm{kg}, \text{areia seca}=667{,}42\\ \mathrm{kg}, \text{brita seca}=1081{,}22\\ \mathrm{kg}, W_{\text{efetiva}}=190\\ \mathrm{kg}.
    • Para dosagem prática (o que se pesa na obra) usar massas úmidas de agregados e água de batelada:
      • C=380\\ \mathrm{kg/m^3} (cimento seco),
      • Areia úmida a pesar =677{,}43\\ \mathrm{kg/m^3},
      • Brita úmida a pesar =1089{,}87\\ \mathrm{kg/m^3},
      • Água a pesar =194{,}10\\ \mathrm{kg/m^3}.
  • Para as cinco vigas com 10\% perdas, as massas a pesar são (valores calculados no passo anterior).

Resposta

(a) Traço (ABCP) em partes por massa: 1 : 1{,}78 : 2{,}87 : 0{,}50 (cimento : areia : brita : água efetiva).
Em massas por 1\\ \mathrm{m^3} (para referência): cimento =380{,}0\\ \mathrm{kg}; areia seca =667{,}42\\ \mathrm{kg}; brita seca =1081{,}22\\ \mathrm{kg}; água efetiva =190{,}0\\ \mathrm{kg}. Para dosagem prática (o que se pesa): areia úmida =677{,}43\\ \mathrm{kg/m^3}, brita úmida =1089{,}87\\ \mathrm{kg/m^3}, água de batelada =194{,}10\\ \mathrm{kg/m^3}.
(b) Materiais necessários para as cinco vigas (considerando 10\% de perda), massas a serem pesadas na obra:
  • Cimento: 282{,}15\\ \mathrm{kg}.
  • Água de batelada: 144{,}12\\ \mathrm{kg}.
  • Areia (úmida): 503{,}02\\ \mathrm{kg}.
  • Brita (úmida): 809{,}92\\ \mathrm{kg}.

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