2^{\circ} ) Determine as integrais indefinidas .
\int \sqrt{x}\left(1+x^{2}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \sqrt{x}\,(1+x^{2})\,dx
Isso envolve somar potências de x e usar a regra de potência
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C.

Passo 2

Primeiro, distribuímos \sqrt{x} sobre 1+x^{2} para escrever o integrando como soma de potências de x:
\sqrt{x}\,(1+x^{2}) = x^{\tfrac12} + x^{\tfrac52}.

Passo 3

Agora aplicamos a regra de potência em cada termo separadamente:
\int x^{\tfrac12}\,dx = \frac{x^{\tfrac32}}{\tfrac32} = \frac{2}{3}\,x^{\tfrac32},
\int x^{\tfrac52}\,dx = \frac{x^{\tfrac72}}{\tfrac72} = \frac{2}{7}\,x^{\tfrac72}.
Somando os resultados e adicionando a constante de integração C, obtemos a antiderivada completa.

Resposta

\frac{2}{3}\,x^{\tfrac32} + \frac{2}{7}\,x^{\tfrac72} + C

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