2^{\circ} ) Determine as integrais indefinidas .
\int\left(-x^{\frac{1}{3}}+3 x^{\frac{4}{3}}+4\right) d x

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida de -x^{\frac{1}{3}} + 3x^{\frac{4}{3}} + 4. O conteúdo é a linearidade da integral e a regra da potência, isto é, usar
\int x^m\,dx = \frac{x^{m+1}}{m+1} + C.

Passo 2

Pela linearidade da integral, separamos os termos:
\int\bigl(-x^{\tfrac{1}{3}} + 3x^{\tfrac{4}{3}} + 4\bigr)\,dx = \int(-x^{\tfrac{1}{3}})\,dx \;+\; \int 3x^{\tfrac{4}{3}}\,dx \;+\; \int 4\,dx.

Passo 3

Integramos cada parcela usando \int x^m\,dx = x^{m+1}/(m+1):
\int(-x^{\tfrac{1}{3}})\,dx = -\frac{x^{\tfrac{1}{3}+1}}{\tfrac{1}{3}+1} = -\frac{x^{\tfrac{4}{3}}}{\tfrac{4}{3}} = -\frac{3}{4}\,x^{\tfrac{4}{3}},
\int 3x^{\tfrac{4}{3}}\,dx = 3\cdot\frac{x^{\tfrac{4}{3}+1}}{\tfrac{4}{3}+1} = 3\cdot\frac{x^{\tfrac{7}{3}}}{\tfrac{7}{3}} = \frac{9}{7}\,x^{\tfrac{7}{3}},
\int 4\,dx = 4x.

Passo 4

Somando os resultados e incluindo a constante de integração C:
\int\bigl(-x^{\tfrac{1}{3}} + 3x^{\tfrac{4}{3}} + 4\bigr)\,dx = -\frac{3}{4}x^{\tfrac{4}{3}} + \frac{9}{7}x^{\tfrac{7}{3}} + 4x + C.

Resposta

-\frac{3}{4}x^{\tfrac{4}{3}} + \frac{9}{7}x^{\tfrac{7}{3}} + 4x + C.

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