2^{\circ} ) Determine as integrais indefinidas .
\int x^{\frac{1}{3}} \cdot\left(2 x^{2}+x-4\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int x^{\tfrac{1}{3}}\,(2x^{2}+x-4)\,dx.
O conteúdo é integração de soma de monômios com expoentes racionais. Vamos usar distribuição (multiplicação) e depois a regra da potência:
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C\quad(n\neq -1).

Passo 2

Distribuímos x^{\tfrac{1}{3}} em cada termo de 2x^{2}+x-4:
x^{\tfrac{1}{3}}\cdot 2x^{2}=2x^{\tfrac{1}{3}+2}=2x^{\tfrac{7}{3}},\quad x^{\tfrac{1}{3}}\cdot x=x^{\tfrac{4}{3}},\quad x^{\tfrac{1}{3}}\cdot(-4)=-4x^{\tfrac{1}{3}}.
Logo a integral vira
\int\bigl(2x^{\tfrac{7}{3}}+x^{\tfrac{4}{3}}-4x^{\tfrac{1}{3}}\bigr)\,dx.

Passo 3

Aplicamos a regra da potência em cada termo:
  1. \displaystyle \int 2x^{\tfrac{7}{3}}\,dx =2\cdot\frac{x^{\tfrac{7}{3}+1}}{\tfrac{7}{3}+1} =2\cdot\frac{x^{\tfrac{10}{3}}}{\tfrac{10}{3}} =\frac{2\cdot3}{10}\,x^{\tfrac{10}{3}} =\frac{3}{5}\,x^{\tfrac{10}{3}}.
  2. \displaystyle \int x^{\tfrac{4}{3}}\,dx =\frac{x^{\tfrac{4}{3}+1}}{\tfrac{4}{3}+1} =\frac{x^{\tfrac{7}{3}}}{\tfrac{7}{3}} =\frac{3}{7}\,x^{\tfrac{7}{3}}.
  3. \displaystyle \int (-4)x^{\tfrac{1}{3}}\,dx =-4\cdot\frac{x^{\tfrac{1}{3}+1}}{\tfrac{1}{3}+1} =-4\cdot\frac{x^{\tfrac{4}{3}}}{\tfrac{4}{3}} =-4\cdot\frac{3}{4}\,x^{\tfrac{4}{3}} =-3\,x^{\tfrac{4}{3}}.

Passo 4

Somando os resultados e incluindo a constante de integração C, obtemos
\int x^{\tfrac{1}{3}}(2x^{2}+x-4)\,dx =\frac{3}{5}\,x^{\tfrac{10}{3}} +\frac{3}{7}\,x^{\tfrac{7}{3}} -3\,x^{\tfrac{4}{3}} + C.

Resposta

\boxed{\frac{3}{5}\,x^{\tfrac{10}{3}} +\frac{3}{7}\,x^{\tfrac{7}{3}} -3\,x^{\tfrac{4}{3}}+C.}

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