2^{\circ} ) Determine as integrais indefinidas .
\int\left(x^{\frac{2}{3}}+3 x-x^{\frac{3}{4}}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int\bigl(x^{\tfrac{2}{3}} + 3x - x^{\tfrac{3}{4}}\bigr)\,dx.
O conteúdo a aplicar é a regra de potências: para n\neq -1,
\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C.

Passo 2

Aplicando a regra de potências ao termo x^{\tfrac{2}{3}}, temos n=\tfrac{2}{3}, logo
\int x^{\tfrac{2}{3}}\,dx = \frac{x^{\tfrac{2}{3}+1}}{\tfrac{2}{3}+1} = \frac{x^{\tfrac{5}{3}}}{\tfrac{5}{3}} = \frac{3}{5}\,x^{\tfrac{5}{3}}.

Passo 3

Para o termo 3x, fator constante 3 para fora da integral e n=1:
\int 3x\,dx = 3\int x\,dx = 3 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} = 3 \cdot \frac{x^2}{2} = \frac{3}{2}\,x^2.

Passo 4

Para o termo -x^{\tfrac{3}{4}}, basta usar n=\tfrac{3}{4} e manter o sinal negativo:
\int -x^{\tfrac{3}{4}}\,dx = -\frac{x^{\tfrac{3}{4}+1}}{\tfrac{3}{4}+1} = -\frac{x^{\tfrac{7}{4}}}{\tfrac{7}{4}} = -\frac{4}{7}\,x^{\tfrac{7}{4}}.

Passo 5

Somando os resultados e incluindo a constante de integração C, obtemos
\int\bigl(x^{\tfrac{2}{3}} + 3x - x^{\tfrac{3}{4}}\bigr)\,dx = \frac{3}{5}\,x^{\tfrac{5}{3}} + \frac{3}{2}\,x^2 - \frac{4}{7}\,x^{\tfrac{7}{4}} + C.

Resposta

\frac{3}{5}\,x^{\tfrac{5}{3}} + \frac{3}{2}\,x^2 - \frac{4}{7}\,x^{\tfrac{7}{4}} + C.

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