2^{\circ} ) Determine as integrais indefinidas .
\int\left(x^{\frac{1}{3}}-x^{\frac{3}{4}}+3\right) d x

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida da soma de potências de x e de uma constante:
\int\bigl(x^{\frac13}-x^{\frac34}+3\bigr)\,dx.
O conteúdo principal aqui é a regra de potência para integrais, que diz que para a\neq -1 \int x^{a}\,dx = \frac{x^{a+1}}{a+1} + C.

Passo 2

Separemos a integral em três termos:
\int x^{\frac13}\,dx \;-\;\int x^{\frac34}\,dx \;+\;\int 3\,dx.

Passo 3

Aplicando a regra de potência ao primeiro termo, com a=\tfrac13:
\int x^{\frac13}\,dx = \frac{x^{\frac13+1}}{\frac13+1} = \frac{x^{\frac43}}{\frac43} = \frac{3}{4}\,x^{\frac43}.

Passo 4

Ao segundo termo, com a=\tfrac34, temos
\int x^{\frac34}\,dx = \frac{x^{\frac34+1}}{\frac34+1} = \frac{x^{\frac74}}{\frac74} = \frac{4}{7}\,x^{\frac74},
e como havia um sinal negativo originalmente,
- \int x^{\frac34}\,dx = -\frac{4}{7}\,x^{\frac74}.

Passo 5

Para a constante 3, usamos \int k\,dx = kx. Assim,
\int 3\,dx = 3x.

Passo 6

Somando os resultados e incluindo a constante de integração C, obtemos a antiderivada geral:
F(x) = \frac{3}{4}\,x^{\frac43} \;-\;\frac{4}{7}\,x^{\frac74} \;+\;3x + C.

Resposta

F(x) = \frac{3}{4}\,x^{\frac{4}{3}} \;-\;\frac{4}{7}\,x^{\frac{7}{4}} \;+\;3x + C.

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