4^circ ) Encontrar a transformada de Fourier de
x[n]=sen(pi2 n+pi4),-1 <= n <= 1,(x[n] é nulo fora deste intervalo).

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Fourier (DTFT) de x[n]=sen!l(tfracpi2n+tfracpi4r) para -1<= n<=1 e x[n]=0 fora desse intervalo. Vamos usar a definição
X(e^jomega) ;=;sumn=-infty^infty x[n],e^-jomega n
e notar que só há termos não nulos em n=-1,0,1.

Passo 2

Calculamos x[n] em cada ponto:
x[-1]=sen!l(-tfracpi2+tfracpi4r)=senl(-tfracpi4r)=-tfracraiz22,
x[0]=sen!l(tfracpi4r)=tfracraiz22,
x[1]=sen!l(tfracpi2+tfracpi4r)=senl(tfrac3pi4r)=tfracraiz22

Passo 3

Pela definição da DTFT, a soma reduz-se a três termos:
X(e^jomega) =x[-1],e^-jomega(-1)+x[0],e^-jomegacdot0+x[1],e^-jomegacdot1
Substituindo os valores de x[n]:
X(e^jomega) =l(-tfracraiz22r)e^jomega +l(tfracraiz22r)cdot1 +l(tfracraiz22r)e^-jomega

Passo 4

Fatorando tfracraiz22:
X(e^jomega) =tfracraiz22l(-e^jomega+1+e^-jomegar)
Usando e^-jomega-e^jomega=-2jsenomega, obtemos
-,e^jomega+1+e^-jomega =1-,l(e^jomega-e^-jomegar) =1-2jsenomega,
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X(e^jomega) =tfracraiz22l(1-2jsenomegar)

Resposta

X(e^jomega) =tfracraiz22l(1-2jsenomegar)

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