) As seguintes informações são conhecidas sobre um sinal periódico
, com periodo 8 e coeficientes da série de Fourier discreta
:
(
)
a)
;
b)
.
(2,5pt)
(
a)
b)
(2,5pt)
Passo 1
O enunciado dá um sinal periódico
de período
e informa duas propriedades:
- Os coeficientes da série de Fourier discreta satisfazem
- Os valores de
em índices ímpares são
Queremos encontrar
para todo
em um período (por exemplo
). Para isso usaremos a relação entre deslocamento em frequência e multiplicação por
em tempo e a condição dada em (1).
Passo 2
Começamos reescrevendo
em termos de
. Pela definição
Ou seja,
são os coeficientes da série de Fourier de
.
Passo 3
A condição
então diz que o espectro de
é o negativo do espectro de
. Pela unicidade da série de Fourier discreta, isso implica no domínio do tempo
Notamos que
só para
ímpar, e
para
par. Logo, para
par devemos ter
.
Passo 4
Já para
ímpar não há restrição pela relação acima. Mas o item (2) nos dá exatamente esses valores:
Passo 5
Juntando as conclusões:
- Para
par ( ): - Para
ímpar ( ):
Em forma de vetor em um período
a
:
Resposta
Em um período de comprimento 8:
Ou explicitamente