3^circ ) As seguintes informações são conhecidas sobre um sinal periódico x[n], com periodo 8 e coeficientes da série de Fourier discreta ck :
( 2,5 pt )
a) ck=-ck-4;
b) x[2 n+1]=(-1)^n.
(2,5pt)

Passo 1

O enunciado dá um sinal periódico x[n] de período N=8 e informa duas propriedades:
  1. Os coeficientes da série de Fourier discreta satisfazem
ck = -,ck-4para todo k
  1. Os valores de x[n] em índices ímpares são
x[2n+1]=(-1)^n,
Queremos encontrar x[n] para todo n em um período (por exemplo n=0,1,dots,7). Para isso usaremos a relação entre deslocamento em frequência e multiplicação por (-1)^n em tempo e a condição dada em (1).

Passo 2

Começamos reescrevendo ck-4 em termos de ck. Pela definição
ck-4 =18sumn=0^7x[n],e^-j2pi8(k-4)n =18sumn=0^7x[n],e^-j2pi8kn,e^+jpi n =18sumn=0^7 l[x[n](-1)^nr] e^-j2pi8kn,
Ou seja, ck-4 são os coeficientes da série de Fourier de x[n],(-1)^n.

Passo 3

A condição ck = -,ck-4 então diz que o espectro de x[n] é o negativo do espectro de x[n](-1)^n. Pela unicidade da série de Fourier discreta, isso implica no domínio do tempo
x[n](-1)^n = -,x[n] Longrightarrow l((-1)^n + 1r),x[n] = 0 forall n
Notamos que (-1)^n+1=0 só para n ímpar, e (-1)^n+1=2neq0 para n par. Logo, para n par devemos ter x[n]=0.

Passo 4

Já para n ímpar não há restrição pela relação acima. Mas o item (2) nos dá exatamente esses valores:
se (n=2m+1), então x[2m+1]=(-1)^m ã

Passo 5

Juntando as conclusões:
  • Para n par ( n=0,2,4,6): x[n]=0
  • Para n ímpar ( n=1,3,5,7): x[2m+1]=(-1)^m, m=0,1,2,3
Em forma de vetor em um período 0 a 7:
[x[0],x[1],dots,x[7]] =[0,,1,,0,,-1,,0,,1,,0,,-1]

Resposta

Em um período de comprimento 8:
x[n]= 0, & n par, (-1)^n-12, & n ímpar í
Ou explicitamente
x[0]=0,, x[1]=1,, x[2]=0,, x[3]=-1,, x[4]=0,, x[5]=1,, x[6]=0,, x[7]=-1

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