4^circ ) Encontrar a transformada de Fourier de
x[n]=(12)^|3 n-7|

Passo 1

O problema pede a transformada de Fourier discreta
X(e^jomega) = sumn=-infty^infty x[n] , e^-jomega n
da sequência
x[n] = (tfrac12)^|3n - 7|
Para resolver vamos
1. identificar onde muda o sinal de 3n - 7,
2. separar a soma em duas partes (anti--causal e causal),
3. reescrever cada parte como série geométrica e usar a fórmula de soma.

Passo 2

Encontramos a quebra de sinal em
3n-7>=0Longrightarrow n>=tfrac73,
isto é, para índice inteiro fica
3n-7<=0,&n<=2, 3n-7>=0,&n>=3
Logo
x[n]= l(tfrac12r)^7-3n,&n<=2, l(tfrac12r)^3n-7,&n>=3

Passo 3

Escrevemos a DFT como soma de duas partes:
X(e^jomega) =sumn=-infty^2l(tfrac12r)^7-3ne^-jomega n +sumn=3^inftyl(tfrac12r)^3n-7e^-jomega n ;=;S1+S2

Passo 4

Cálculo de S1. Note que
l(tfrac12r)^7-3n =2^-7,2^3n =2^-7,(8)^n,
portanto
S1 =2^-7sumn=-infty^2(8,e^-jomega)^n
Como lvert8e^-jomegarvert=8>1, a soma de n=-infty a 2 é
sumn=-infty^2r^n =r^2+1r-1 para r=8e^-jomega
Logo
S1 =2^-7,(8e^-jomega)^38e^-jomega-1 =2^-7,512,e^-j3omega8e^-jomega-1 =4,e^-j3omega8,e^-jomega-1

Passo 5

Cálculo de S2. Observe que
l(tfrac12r)^3n-7 =2^7,l(tfrac18r)^n,
então
S2 =2^7sumn=3^inftyl(tfrace^-jomega8r)^n
Como l|tfrace^-jomega8r|<1, a soma de n=3 a infty é
sumn=3^inftyr^n =r^31-r para r=tfrace^-jomega8
Logo
S2 =128;(e^-jomega/8)^31-e^-jomega/8 =128,e^-j3omega512,l(1-tfrace^-jomega8r) =e^-j3omega/41-tfrace^-jomega8 =2,e^-j3omega8-e^-jomega

Passo 6

Somando as duas partes obtemos
X(e^jomega) =4,e^-j3omega8,e^-jomega-1 ;+;2,e^-j3omega8-e^-jomega

Resposta

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