5^{\circ} ) Para a execução de um aterro, foi utilizado um solo cuja massa específica dos grãos é 2,75 \mathrm{g} / \mathrm{cm}^{3}. Considere os dados da tabela a seguir e calcule: (Valor: 2,0 pts).
Massa do cilindro: 1800 \mathrm{~g} ; Volume do cilindro: 990 \mathrm{~cm}^{3}
Ensaio \mathbf{1} \mathbf{2} \mathbf{3} \mathbf{4} \mathbf{5}
Massa
cilindro +
solos (\mathrm{g})
3750 3830 3910 3810 3655
w (\%) 18 19,8 22,90 25,7 28,00
Solo (\mathrm{g})
a)
Determine as massas especificas aparentes secas.
Ensaio 1 2 3 4 5
p_{d}
\left(\mathrm{kN} / \mathrm{m}^{3}\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular as massas específicas aparentes secas (ou seja, o peso específico seco \gamma_d em \mathrm{kN}/\mathrm{m}^3) para os cinco ensaios. Dados fornecidos (peguei os valores da tabela do enunciado e do cabeçalho):
\begin{aligned} &\text{Massa do cilindro: }1800\\ \mathrm{g},\\\ &\text{Volume do cilindro: }990\\ \mathrm{cm}^3,\\\ &\text{Massa específica dos grãos: }2{,}75\\ \mathrm{g/cm}^3\\ (\text{dado fornecido, não será necessário neste item}).\\\ &\text{Ensaio 1: }m_{\text{cil+solo}}=3750\\ \mathrm{g},\\ w=18{,}0\%\\\ &\text{Ensaio 2: }m_{\text{cil+solo}}=3830\\ \mathrm{g},\\ w=19{,}8\%\\\ &\text{Ensaio 3: }m_{\text{cil+solo}}=3910\\ \mathrm{g},\\ w=22{,}90\%\\\ &\text{Ensaio 4: }m_{\text{cil+solo}}=3810\\ \mathrm{g},\\ w=25{,}7\%\\\ &\text{Ensaio 5: }m_{\text{cil+solo}}=3655\\ \mathrm{g},\\ w=28{,}0\% \end{aligned}íããáá
O que devemos entregar: \gamma_d (em \mathrm{kN}/\mathrm{m}^3) para cada ensaio.

Passo 2

Relembrando a relação entre massa seca, massa úmida e teor de água w. Definição de w:
w=\frac{m_{\text{úmida}}-m_{\text{seca}}}{m_{\text{seca}}}ú
onde:
  • m_{\text{úmida}}ú é a massa do solo no ensaio (massa úmida do solo),
  • m_{\text{seca}} é a massa seca do solo,
  • w é o teor de água em fração (por exemplo 18\% = 0{,}18).\n
    Isolando m_{\text{seca}}:
m_{\text{seca}}=\frac{m_{\text{úmida}}}{1+w}.ú
Aqui é importante: m_{\text{úmida}}ú é a massa do solo somente (sem o cilindro). Vamos calcular isso no próximo passo.

Passo 3

Calcular a massa úmida do solo em cada ensaio:
m_{\text{úmida}} = m_{\text{cil+solo}} - m_{\text{cil}}ú
com m_{\text{cil}}=1800\\ \mathrm{g}.
\begin{aligned} \text{Ensaio 1: } & m_{\text{úmida}}=3750-1800=1950\\ \mathrm{g},\\\ \text{Ensaio 2: } & m_{\text{úmida}}=3830-1800=2030\\ \mathrm{g},\\\ \text{Ensaio 3: } & m_{\text{úmida}}=3910-1800=2110\\ \mathrm{g},\\\ \text{Ensaio 4: } & m_{\text{úmida}}=3810-1800=2010\\ \mathrm{g},\\\ \text{Ensaio 5: } & m_{\text{úmida}}=3655-1800=1855\\ \mathrm{g}. \end{aligned}úúúúú

Passo 4

Calcular a massa seca m_{\text{seca}} usando m_{\text{seca}}=\dfrac{m_{\text{úmida}}}{1+w}ú (lembrar de converter w\% para fração, ex.: 18\%\to0{,}18):
\begin{aligned} \text{Ensaio 1: } & m_{\text{seca}}=\dfrac{1950}{1+0{,}18}=\dfrac{1950}{1{,}18}=1652{,}5423729\\ \mathrm{g},\\\ \text{Ensaio 2: } & m_{\text{seca}}=\dfrac{2030}{1+0{,}198}=\dfrac{2030}{1{,}198}=1694{,}4908170\\ \mathrm{g},\\\ \text{Ensaio 3: } & m_{\text{seca}}=\dfrac{2110}{1+0{,}229}=\dfrac{2110}{1{,}229}=1716{,}842\\ \mathrm{g}\\ (\text{aprox.}),\\\ \text{Ensaio 4: } & m_{\text{seca}}=\dfrac{2010}{1+0{,}257}=\dfrac{2010}{1{,}257}=1599{,}04536\\ \mathrm{g},\\\ \text{Ensaio 5: } & m_{\text{seca}}=\dfrac{1855}{1+0{,}28}=\dfrac{1855}{1{,}28}=1449{,}21875\\ \mathrm{g}. \end{aligned}

Passo 5

Agora vamos da massa seca para o peso específico seco \gamma_d (em \mathrm{kN}/\mathrm{m}^3). Procedimento e conversões:
  • Volume do conjunto (solo no cilindro) é V=990\\ \mathrm{cm}^3=990\times10^{-6}\\ \mathrm{m}^3=0{,}00099\\ \mathrm{m}^3.
  • Massa seca em kg: m_{\text{seca}}(\mathrm{kg})=m_{\text{seca}}(\mathrm{g})/1000.
  • Peso específico seco: \gamma_d=\dfrac{\text{peso seco}}{V}=\dfrac{m_{\text{seca}}(\mathrm{kg})\cdot g}{V}, com g=9{,}81\\ \mathrm{m/s}^2.
    Substituindo e simplificando (usando m_{\text{seca}} em gramas) obtemos uma fórmula direta conveniente:
\gamma_d\\ (\mathrm{kN}/\mathrm{m}^3)=m_{\text{seca}}\\ (\mathrm{g})\times\frac{9{,}81}{990}.
Observação: \dfrac{9{,}81}{990}\approx0{,}0099090909. Assim basta multiplicar m_{\text{seca}} em gramas por esse fator para obter \gamma_d em \mathrm{kN}/\mathrm{m}^3.

Passo 6

Calcular \gamma_d para cada ensaio aplicando \gamma_d=m_{\text{seca}}\times\frac{9{,}81}{990}:
\begin{aligned} \text{Ensaio 1: } & \gamma_d=1652{,}5423729\times\frac{9{,}81}{990}=16{,}37519257\\ \mathrm{kN}/\mathrm{m}^3,\\\ \text{Ensaio 2: } & \gamma_d=1694{,}4908170\times\frac{9{,}81}{990}=16{,}79086407\\ \mathrm{kN}/\mathrm{m}^3,\\\ \text{Ensaio 3: } & \gamma_d=1716{,}842\\ (\text{aprox.})\times\frac{9{,}81}{990}=17{,}012338\\ \mathrm{kN}/\mathrm{m}^3\\ (\text{aprox.}),\\\ \text{Ensaio 4: } & \gamma_d=1599{,}04536\times\frac{9{,}81}{990}=15{,}845082\\ \mathrm{kN}/\mathrm{m}^3,\\\ \text{Ensaio 5: } & \gamma_d=1449{,}21875\times\frac{9{,}81}{990}=14{,}36044034\\ \mathrm{kN}/\mathrm{m}^3. \end{aligned}

Resposta

Ensaio 1: 16{,}375\\ \mathrm{kN}/\mathrm{m}^3
Ensaio 2: 16{,}791\\ \mathrm{kN}/\mathrm{m}^3
Ensaio 3: 17{,}012\\ \mathrm{kN}/\mathrm{m}^3
Ensaio 4: 15{,}845\\ \mathrm{kN}/\mathrm{m}^3
Ensaio 5: 14{,}360\\ \mathrm{kN}/\mathrm{m}^3

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