4^{\circ} ) Um projeto de aterro requer 7000 \mathrm{~m}^{3} de solo compactado. O índice de vazios especificado para o aterro compactado é 0,7 . Duas áreas de empréstimo estão disponíveis como indicado na tabela a seguir, que relaciona os respectivos índices de vazios do solo e o custo por metro cúbico do transporte do solo para o canteiro de obras proposto. Efetue os cálculos necessários para selecionar a área de empréstimo da qual o solo deverá ser trazido para minimizar os custos. Considere o mesmo \mathrm{Gs}=2,65 para as áreas de empréstimo. (Valor: 2,0 pts).
Área de
empréstimo
Índice de
vazios
Custo
\left(\mathrm{R} \$ / \mathrm{m}^{3}\right)
A 0,82 15
B 0,9 13

Passo 1

O enunciado pede que eu escolha, entre duas áreas de empréstimo, de qual área trazer o solo para atender um aterro compactado de volume 7000\\ \mathrm{m}^3 (volume final compactado) minimizando o custo de transporte. Dados fornecidos:
\;V_{\text{compactado}}=7000\\ \mathrm{m}^3.
Área A: índice de vazios \;e_A=0,82 e custo de transporte \;R\$\,15/\mathrm{m}^3.
Área B: índice de vazios \;e_B=0,90 e custo de transporte \;R\$\,13/\mathrm{m}^3.
Além disso, \;G_s=2{,}65 (mesmo para as duas áreas). Não há perda de massa entre escavação e aterro (volume de sólidos constante). O objetivo é calcular quanto volume de solo precisa ser escavado em cada área para obter os 7000\\ \mathrm{m}^3 compactados e multiplicar pelo custo por metro cúbico para comparar os custos totais.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vou usar (explicado passo a passo):
  • O volume total de um solo \;V_t é a soma do volume de sólidos \;V_s e volume de vazios \;V_v:
V_t = V_s + V_v.
  • O índice de vazios \;e é definido como a razão entre volume de vazios e volume de sólidos:
e=\frac{V_v}{V_s}.
Dessa definição segue que
V_t = V_s + V_v = V_s + eV_s = V_s(1+e).
Portanto, dado um volume total V_t e índice de vazios e, o volume de sólidos é
V_s=\frac{V_t}{1+e}.
E, invertendo, se conheço V_s e quero o volume total correspondente a um outro índice de vazios e', tenho
V_t'=V_s(1+e').
  • Aqui o volume de sólidos \;V_s é o mesmo no solo escavado e no solo compactado (assumindo sem perdas). Assim o procedimento será:
    1. Calcular \;V_s a partir do volume compactado 7000\\ \mathrm{m}^3 e do índice de vazios do aterro \;e_{\text{compactado}}=0,7.
    2. Calcular o volume total a ser escavado em cada área usando \;V_t^{(\text{área})}=V_s(1+e_{\text{área}})áá.
    3. Multiplicar esse volume pelo custo por \mathrm{m}^3 da área para obter o custo total. Comparar custos.
Observação sobre \;G_s: a massa/gravidade específica \;G_s relaciona massas e volumes e aparece em fórmulas de pesos específicos, mas neste cálculo de volumes ela não é necessária porque usamos conservação do volume de sólidos. Como \;G_s é igual para ambas as áreas, ela não afeta a comparação de custos.

Passo 3

Calcular o volume de sólidos \;V_s contido nos 7000\\ \mathrm{m}^3 compactados.
Uso a fórmula \;V_s=\dfrac{V_{\text{compactado}}}{1+e_{\text{compactado}}} com \;e_{\text{compactado}}=0,7:
V_s=\frac{7000}{1+0{,}7}=\frac{7000}{1{,}7}.
Faço a divisão:
V_s=\frac{7000}{1{,}7}= \frac{70000}{17}\approx 4117{,}6470588\\ \mathrm{m}^3.
Arredondando razoavelmente para duas casas decimais (para facilitar contas na prova): \;V_s\approx 4117{,}65\\ \mathrm{m}^3.
(Se preferir, mantenha a fração \;70000/17 para exatidão.)

Passo 4

Calcular o volume total a ser escavado na Área A (índice de vazios \;e_A=0,82).
Uso \;V_{t,A}=V_s(1+e_A):
V_{t,A}= \frac{7000}{1{,}7}\times(1+0{,}82)=\frac{7000}{1{,}7}\times 1{,}82.
Efetuando a multiplicação exata usando frações:
V_{t,A}=\frac{70000}{17}\times\frac{91}{50}=\frac{70000\cdot 91}{17\cdot 50}=\frac{6370000}{850}=\frac{1274000}{170}\approx 7494{,}1176471\\ \mathrm{m}^3.
Arredondando: \;V_{t,A}\approx 7494{,}12\\ \mathrm{m}^3.

Passo 5

Calcular o custo total para a Área A.
Custo por metro cúbico \;=R\$\,15/\mathrm{m}^3. Então:
\text{Custo}_A = V_{t,A}\times 15 \approx 7494{,}1176471\times 15.
Multiplicando:
\text{Custo}_A \approx 112411{,}7647059\\ \text{R\$}.
Arredondando para centavos: \;\text{Custo}_A\approx R\$\,112411{,}76.

Passo 6

Calcular o volume total a ser escavado na Área B (índice de vazios \;e_B=0,90).
Uso \;V_{t,B}=V_s(1+e_B)=\dfrac{7000}{1{,}7}\times(1+0{,}90):
V_{t,B}=\frac{7000}{1{,}7}\times 1{,}9=\frac{70000}{17}\times\frac{19}{10}=\frac{70000\cdot 19}{170}=\frac{1330000}{170}\approx 7833{,}5294118\\ \mathrm{m}^3.
Arredondando: \;V_{t,B}\approx 7833{,}53\\ \mathrm{m}^3.

Passo 7

Calcular o custo total para a Área B.
Custo por metro cúbico \;=R\$\,13/\mathrm{m}^3. Então:
\text{Custo}_B = V_{t,B}\times 13 \approx 7833{,}5294118\times 13.
Multiplicando:
\text{Custo}_B \approx 101835{,}8823529\\ \text{R\$}.
Arredondando para centavos: \;\text{Custo}_B\approx R\$\,101835{,}88.

Passo 8

Comparação dos resultados (valores arredondados):
\;\text{Custo}_A\approx R\$\,112411{,}76 para \;V_{t,A}\approx 7494{,}12\\ \mathrm{m}^3.
\;\text{Custo}_B\approx R\$\,101835{,}88 para \;V_{t,B}\approx 7833{,}53\\ \mathrm{m}^3.
O menor custo absoluto é \;R\$\,101835{,}88.

Resposta

Área a ser escolhida: B — custo total aproximado R\$\,101835{,}88 ; volume a ser transportado aproximado 7833{,}53\\ \mathrm{m}^3.

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