4^{\circ} ) (FGV - 2012/Senado Federal) Uma empresa compra brindes a um custo unitário de R \ 30,00 . Dada uma demanda anual de 4,000 unidades, um custo do pedido de R\ 40,00 e um custo de manutenção em estoque de R$ 2,00 ano, qual é o lote econõmico de compra?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • Demanda anual: D=4000 unidades.
    • Custo por pedido: S=\text{R\$ }40.
    • Custo de manutenção (manutenção em estoque) por unidade por ano: H=\text{R\$ }2.
    • Custo unitário de compra: \text{R\$ }30{,}00 (informação dada, mas não é necessária para o cálculo pedido).
  • O enunciado pede: qual é o lote econômico de compra (quantidade ótima de pedido) — isto é, a quantidade Q que minimiza o custo anual total de pedir e manter estoque.

Passo 2

Explicando a ideia por trás do problema (de forma bem simples).
  • Quando uma empresa compra em lotes, há dois custos principais que dependem do tamanho do lote Q:
    1. Custo de pedido anual: quanto a empresa gasta fazendo pedidos ao longo do ano. Se cada pedido custa S e a demanda anual é D, o número de pedidos por ano é D/Q. Então o custo anual de pedidos é \dfrac{D}{Q}\,S.
    2. Custo de manutenção (estoque): se os pedidos chegam completos e são consumidos uniformemente, o estoque médio é Q/2. Multiplicando pelo custo de manutenção por unidade por ano H, obtemos o custo anual de manutenção \dfrac{Q}{2}\,H.
  • O custo total anual (ignorando custo de compra que não depende de Q) é a soma desses dois termos. O objetivo é escolher Q que minimize esse custo total.

Passo 3

Escrever a função do custo total anual e explicar cada termo.
  • Função do custo total anual TC(Q):
TC(Q)=\text{custo de pedidos anuais}+\text{custo de manutenção anual}çã
TC(Q)=\frac{D}{Q}\,S+\frac{Q}{2}\,H.
Onde:
  • D é demanda anual (unidades/ano).
  • S é custo por pedido (R$ por pedido).
  • H é custo de manutenção por unidade por ano (R$ por unidade por ano).
  • Q é a quantidade do lote (unidades) — variável que queremos otimizar.

Passo 4

Derivar a condição de otimalidade: minimizar TC(Q) em relação a Q.
  • Para encontrar o mínimo, calcula-se a derivada de TC(Q) em relação a Q e iguala-se a zero:
TC(Q)=\frac{D}{Q}\,S+\frac{Q}{2}\,H.
Derivando termo a termo (lembre: a derivada de D S Q^{-1} é -D S Q^{-2}; a derivada de \tfrac{H}{2}Q é \tfrac{H}{2}):
\frac{dTC}{dQ}=-\frac{D S}{Q^{2}}+\frac{H}{2}.
Igualando a zero para obter o ponto crítico:
-\frac{D S}{Q^{2}}+\frac{H}{2}=0.

Passo 5

Resolver a equação para Q e apresentar a fórmula conhecida.
  • Rearranjando:
\frac{H}{2}=\frac{D S}{Q^{2}}
Q^{2}=\frac{2 D S}{H}
Q=\sqrt{\frac{2 D S}{H}}.
Essa é a fórmula do lote econômico de compra (EOQ). Agora vamos aplicar os valores numéricos.

Passo 6

Substituir os valores dados e calcular passo a passo.
  • Substituindo D=4000, S=\text{R\$}40, H=\text{R\$ }2:
Q=\sqrt{\frac{2\cdot 4000 \cdot 40}{2}}.
  • Simplificar a expressão dentro da raiz:
\frac{2\cdot 4000\cdot 40}{2} = 4000\cdot 40 = 160000.
  • Portanto
Q=\sqrt{160000}=400.

Passo 7

Verificação rápida de que é mínimo (checar segunda derivada) e interpretação.
  • Segunda derivada:
\frac{d^{2}TC}{dQ^{2}}=\frac{2 D S}{Q^{3}}.
Como D>0, S>0 e Q>0, a segunda derivada é positiva, logo o ponto crítico é um mínimo.
  • Interpretação prática: pedir Q=400 unidades por pedido minimiza a soma dos custos de pedido e de manter estoque. Com D=4000, isso dá 4000/400=10 pedidos por ano, ou um pedido a cada 0{,}1 ano (cerca de 36{,}5 dias).

Resposta

400 unidades

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