) (FGV - 2012/Senado Federal) Uma empresa compra brindes a um custo unitário de R
30,00
40,00 e um custo de manutenção em estoque de R$ 2,00 ano, qual é o lote econõmico de compra?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Dados fornecidos:
- Demanda anual:
unidades. - Custo por pedido:
. - Custo de manutenção (manutenção em estoque) por unidade por ano:
. - Custo unitário de compra:
(informação dada, mas não é necessária para o cálculo pedido).
- Demanda anual:
- O enunciado pede: qual é o lote econômico de compra (quantidade ótima de pedido) — isto é, a quantidade
que minimiza o custo anual total de pedir e manter estoque.
Passo 2
Explicando a ideia por trás do problema (de forma bem simples).
- Quando uma empresa compra em lotes, há dois custos principais que dependem do tamanho do lote
: - Custo de pedido anual: quanto a empresa gasta fazendo pedidos ao longo do ano. Se cada pedido custa
e a demanda anual é , o número de pedidos por ano é . Então o custo anual de pedidos é . - Custo de manutenção (estoque): se os pedidos chegam completos e são consumidos uniformemente, o estoque médio é
. Multiplicando pelo custo de manutenção por unidade por ano , obtemos o custo anual de manutenção .
- Custo de pedido anual: quanto a empresa gasta fazendo pedidos ao longo do ano. Se cada pedido custa
- O custo total anual (ignorando custo de compra que não depende de
) é a soma desses dois termos. O objetivo é escolher que minimize esse custo total.
Passo 3
Escrever a função do custo total anual e explicar cada termo.
- Função do custo total anual
:
Onde:
-
é demanda anual (unidades/ano). -
é custo por pedido (R$ por pedido). -
é custo de manutenção por unidade por ano (R$ por unidade por ano). -
é a quantidade do lote (unidades) — variável que queremos otimizar.
Passo 4
Derivar a condição de otimalidade: minimizar
em relação a
.
- Para encontrar o mínimo, calcula-se a derivada de
em relação a e iguala-se a zero:
Derivando termo a termo (lembre: a derivada de
é
; a derivada de
é
):
Igualando a zero para obter o ponto crítico:
Passo 5
Resolver a equação para
e apresentar a fórmula conhecida.
- Rearranjando:
Essa é a fórmula do lote econômico de compra (EOQ). Agora vamos aplicar os valores numéricos.
Passo 6
Substituir os valores dados e calcular passo a passo.
- Substituindo
, , :
- Simplificar a expressão dentro da raiz:
- Portanto
Passo 7
Verificação rápida de que é mínimo (checar segunda derivada) e interpretação.
- Segunda derivada:
Como
,
e
, a segunda derivada é positiva, logo o ponto crítico é um mínimo.
- Interpretação prática: pedir
unidades por pedido minimiza a soma dos custos de pedido e de manter estoque. Com , isso dá pedidos por ano, ou um pedido a cada ano (cerca de dias).
Resposta
400 unidades