3^{\circ} ) (CESGRANRIO - 2013/BNDES) Uma empresa utiliza do Lote Econômico de Compra (LEC) para repor o estoque de uma das suas peças cuja demanda anual é de 90.000 unidades. Se o custo de colocação de um pedido é de RS 4.000,00 e o custo de manutenção de estoques é de R$20,00 por peça por ano, qual é o LEC utilizado?

Passo 1

O enunciado pede para calcular o Lote Econômico de Compra (LEC) com os dados fornecidos. Vou listar claramente os dados que o problema dá:
  • Demanda anual: D = 90000 unidades (peguei do enunciado).
  • Custo de colocação de um pedido: S = 4000{,}00 R$ por pedido (peguei do enunciado).
  • Custo de manutenção de estoque: H = 20{,}00 R$ por peça por ano (peguei do enunciado).
O que se pede: determinar o LEC (quantidade ótima por pedido), normalmente denotado por Q^*.

Passo 2

O conceito por trás do LEC (ou EOQ) é equilibrar dois custos que andam em sentidos opostos:
  • Custo de fazer pedidos (custo de colocação): quanto mais pedidos pequenos, maior esse custo total anual.
  • Custo de manter estoque (custo de armazenagem): quanto mais estoque médio, maior esse custo anual.
A expressão do custo total anual (simplificada, também chamada de custo anual relevante) para um lote Q é:
TC(Q)=\frac{D}{Q}S+\frac{Q}{2}H.
Explicando cada termo:
  • \dfrac{D}{Q}S é o custo anual com pedidos: \dfrac{D}{Q} é o número de pedidos por ano, multiplicado pelo custo por pedido S.
  • \dfrac{Q}{2}H é o custo anual de manutenção: Q/2 é o estoque médio (assumindo reposições instantâneas), multiplicado pelo custo de manter uma unidade por ano H.
Para encontrar o Q que minimiza TC(Q), derivamos e igualamos a zero — isso dá a fórmula clássica do LEC:
Q^*=\sqrt{\frac{2DS}{H}}.

Passo 3

Vou mostrar rapidamente a derivação (para entender de onde vem a fórmula), mas sem pular passos:
Começando de
TC(Q)=\frac{D}{Q}S+\frac{Q}{2}H,
derivando em relação a Q:
\frac{dTC}{dQ}=-\frac{D S}{Q^{2}}+\frac{H}{2}.
Para mínimo, impondo \dfrac{dTC}{dQ}=0:
-\frac{D S}{Q^{2}}+\frac{H}{2}=0 \quad\Rightarrow\quad \frac{D S}{Q^{2}}=\frac{H}{2}.
Isolando Q^{2}:
Q^{2}=\frac{2 D S}{H}.
Tomando raiz positiva (quantidade não pode ser negativa):
Q^{*}=\sqrt{\frac{2 D S}{H}}.

Passo 4

Agora aplico a fórmula com os números dados:
D=90000,\qquad S=4000,\qquad H=20.
Calcular o que está dentro da raiz:
2 D S = 2\cdot90000\cdot4000.
Faço a conta passo a passo:
2\cdot90000=180000,
180000\cdot4000=720000000.
Agora divido por H:
\frac{720000000}{20}=36000000.
Agora a raiz quadrada:
Q^{*}=\sqrt{36000000}.
Note que 36000000=36\cdot10^{6}, então
\sqrt{36000000}=\sqrt{36}\cdot\sqrt{10^{6}}=6\cdot10^{3}=6000.

Passo 5

Interpretação prática e observações úteis (para a prova):
  • O LEC encontrado é \,6000 unidades por pedido. Isso significa que a empresa deve pedir lotes de 6000 unidades para minimizar os custos combinados de pedir e manter estoques.
  • Número de pedidos por ano: \dfrac{D}{Q^{*}}=\dfrac{90000}{6000}=15 pedidos por ano.
  • Em provas, é comum justificar usando a fórmula ou derivação do custo total; mostre as contas como fiz aqui para ganhar pontos.

Resposta

\,6000\\ \text{unidades}

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