1^{\circ} Questão ( 2,5 Pontos): A parede de um forno de secagem é construida com a colocação de um material isolante, de condutividade térmica (k) é igual a 5 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{\circ} \mathrm{C}, entre duas folhas de metal de condutividade térmica (k) igual a 90 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{\circ} \mathrm{C}. Cada folha metálica tem 15 cm de espessura. O ar no interior do forno está a uma temperatura igual a 350^{\circ} \mathrm{C} e o coeficiente convectivo correspondente é hforno =40 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2 \circ} \mathrm{C}. Na superficie interna da parede está incidindo um fluxo radiante G igual 100 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2}. A temperatura do ar no ambiente externo ao forno é Tex igual a 25 { }^{\circ} \mathrm{C} e o coeficiente para a convecção do ar externo é h igual a 10 \mathrm{~W} /\left(\mathrm{m}^{2 \circ} \mathrm{C}\right). Sabendo que o coeficiente de absortividade da superficie da parede interna ao forno é igual a 0,8 e que a temperatura na interface isolante metal mais próxima ao interior do forno é 300^{\circ} \mathrm{C}. A área da parede é igual a 2 \mathrm{~m}^{2}. Calcule:
a) As temperaturas das camadas de metal em contato com os fluidos internos e externos.
b) Qual espessura L do isolamento é necessária para manter a superficie externa da parede a uma temperatura segura para o toque em 40^{\circ} \mathrm{C} ?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. a) Calcular as temperaturas das camadas de metal em contato com os fluidos interno (forno) e externo (ambiente).
  2. b) Determinar a espessura L do isolamento necessária para que a superfície externa da parede atinja 40^\circ\mathrm{C}.
Dados fornecidos (vou listar TODOS os dados relevantes que o enunciado dá):
\begin{aligned} &\text{Condutividade do isolante: }k_{\text{ins}}=5\\ \mathrm{W/(m^\circ C)}\\\ &\text{Condutividade das chapas metálicas: }k_m=90\\ \mathrm{W/(m^\circ C)}\\\ &\text{Espessura de cada chapa metálica: }L_m=0{,}15\\ \mathrm{m}\\\ &\text{Temperatura do ar dentro do forno: }T_{\text{forno}}=350^\circ\mathrm{C}\\\ &\text{Coeficiente convectivo interno: }h_{\text{forno}}=40\\ \mathrm{W/(m^2^\circ C)}\\\ &\text{Fluxo radiativo incidente sobre a superfície interna: }G=100\\ \mathrm{W/m^2}\\\ &\text{Absorptividade da superfície interna: }\alpha=0{,}8\\\ &\text{Temperatura do ar ambiente externo: }T_{\infty}=25^\circ\mathrm{C}\\\ &\text{Coeficiente convectivo externo: }h_{\text{ext}}=10\\ \mathrm{W/(m^2^\circ C)}\\\ &\text{Temperatura conhecida na interface isolante–metal (lado interno): }T_{\text{intf}}=300^\circ\mathrm{C}\\\ &\text{Área da parede: }A=2\\ \mathrm{m^2} \end{aligned}
Observação importante: o enunciado deu explicitamente \,T_{\text{intf}}=300^\circ\mathrm{C} (temperatura na interface isolante-metal mais próxima do interior). Essa condição será usada nas balanços térmicos. A resolução continuará a partir desses dados.

Passo 2

Breve explicação do modelo físico e das equações que vamos usar (aula curta e prática):
  • Energia que entra pela superfície interna vem por convecção do ar interno mais radiação absorvida. O fluxo de calor por unidade de área que sai da superfície interna (em regime permanente) é:
q'' = h_{\text{forno}}\bigl(T_{\text{forno}}-T_{s,\text{int}}\bigr) + G_{\text{abs}}
onde T_{s,\text{int}} é a temperatura da superfície interna do metal (lado gás interno) e G_{\text{abs}}=\alpha G é a fração do fluxo radiativo absorvida pela superfície.
  • Dentro da chapa metálica (espessura L_m) a condução é praticamente unidimensional e linear (metal com alta condutividade). Para uma chapa de condutividade k_m e espessura L_m:
q''=\frac{k_m}{L_m}\bigl(T_{s,\text{int}}-T_{\text{intf}}\bigr),
onde T_{\text{intf}} é a temperatura da face da chapa que toca o isolante (dada no enunciado).
  • Em regime permanente o fluxo que chega pela convecção+radiacao na face interna deve ser exatamente o que atravessa a chapa por condução (mesmo q''). Isso nos dá uma equação para achar T_{s,\text{int}}.
  • Depois, sabendo q'', podemos propagar esse fluxo pela parede para fora. A superfície externa do metal estará em equilíbrio entre o fluxo que chega por condução e o que é removido por convecção ao ambiente:
q'' = h_{\text{ext}}\bigl(T_{s,\text{ext}} - T_{\infty}\bigr),
onde T_{s,\text{ext}} é a temperatura da superfície externa do metal (lado ambiente).
  • Para a parte (b) usaremos essas equações e a relação de condução no isolante para encontrar L quando imposto T_{s,\text{ext}}=40^\circ\mathrm{C}. Vou mostrar por que há uma implicação física importante entre T_{\text{intf}}, q'' e L (atenção para possível inconsistência se se fixam simultaneamente certas temperaturas).

Passo 3

Calcular o fluxo radiativo absorvido na superfície interna:
G_{\text{abs}}=\alpha G = 0{,}8\times 100 = 80\\ \mathrm{W/m^2}.
Isso é energia extra que entra na superfície além da convecção.

Passo 4

Equação de balanço na superfície interna (convecção + radiação absorvida = condução pela chapa para a interface):
h_{\text{forno}}\bigl(T_{\text{forno}}-T_{s,\text{int}}\bigr) + G_{\text{abs}} = \frac{k_m}{L_m}\bigl(T_{s,\text{int}}-T_{\text{intf}}\bigr).
Agora substituímos os valores numéricos:
40\bigl(350 - T_{s,\text{int}}\bigr) + 80 = \frac{90}{0{,}15}\bigl(T_{s,\text{int}}-300\bigr).
Calcule a condutância da chapa:
\frac{90}{0{,}15}=600\\ \mathrm{W/(m^2^\circ C)}.
Portanto a equação fica:
40(350 - T_{s,\text{int}}) + 80 = 600(T_{s,\text{int}}-300).

Passo 5

Resolver a equação para T_{s,\text{int}}:
Primeiro calcular o lado esquerdo expandido:
40\cdot350 -40T_{s,\text{int}} + 80 = 14000 - 40T_{s,\text{int}} + 80 = 14080 - 40T_{s,\text{int}}.
Colocando tudo de um lado:
14080 - 40T_{s,\text{int}} = 600T_{s,\text{int}} - 180000.
Somando 40T_{s,\text{int}} e somando 180000 aos dois lados:
14080 + 180000 = 640T_{s,\text{int}}.
194080 = 640T_{s,\text{int}}.
T_{s,\text{int}} = \frac{194080}{640} = 303{,}25^\circ\mathrm{C}.
Comentários didáticos: a superfície interna do metal fica só um pouco mais quente que a interface (300°C), porque a chapa metálica tem alta condutividade e pequena queda de temperatura apesar do grande fluxo.

Passo 6

Calcular o fluxo de calor por unidade de área ( q'') usando a expressão de condução na chapa (ou usando a parte convecção + radiação; é consistente):
q'' = \frac{k_m}{L_m}\bigl(T_{s,\text{int}}-T_{\text{intf}}\bigr) = 600\times(303{,}25-300)=600\times 3{,}25=1950\\ \mathrm{W/m^2}.
Energia total atravessando a área A=2\\ \mathrm{m^2}:
\dot{Q}=q''\times A = 1950\times 2 = 3900\\ \mathrm{W}.

Passo 7

Calcular a temperatura da superfície externa do metal em contato com o ar ambiente ( T_{s,\text{ext}}). Em regime, o fluxo que chega à superfície externa por condução deve ser removido por convecção:
q'' = h_{\text{ext}}\bigl(T_{s,\text{ext}}-T_{\infty}\bigr).
Isolando T_{s,\text{ext}}:
T_{s,\text{ext}} = T_{\infty} + \frac{q''}{h_{\text{ext}}} = 25 + \frac{1950}{10} = 25 +195 = 220^\circ\mathrm{C}.
Comentário físico importante (preste atenção): esse resultado significa que, com a interface interna fixa em 300^\circ\mathrm{C}, o fluxo que atravessa a parede é muito grande ( 1950\\ \mathrm{W/m^2}), portanto a superfície externa ficará muito quente ( 220^\circ\mathrm{C}) se a espessura do isolante não for suficiente para reduzir esse fluxo. Portanto, sem mudar a condição da interface, a superfície externa não estará segura ao toque.

Passo 8

Agora a parte (b): determinar L de isolante necessário para que a superfície externa atinja 40^\circ\mathrm{C}.
Primeiro razão física: se queremos T_{s,\text{ext}}=40^\circ\mathrm{C}, a convecção externa removerá por área:
q''_{\text{desejado}} = h_{\text{ext}}\bigl(40 - 25\bigr) = 10\times 15 = 150\\ \mathrm{W/m^2}.
Ou seja, a parede teria que transmitir apenas 150\\ \mathrm{W/m^2} do interior para o exterior para que a superfície externa fique a 40^\circ\mathrm{C}.
Se mantivermos a condição dada T_{\text{intf}}=300^\circ\mathrm{C} (lado do isolante voltado ao interior), então o fluxo através do isolante deve ser esse 150\\ \mathrm{W/m^2}. Vamos calcular a espessura L que produz esse fluxo, considerando também a queda de temperatura na chapa externa entre a face do isolante e a face externa do metal.
Procedimento:
  • Temperatura na face interna da chapa externa (lado que toca o isolante) será T_b. Pela condução na chapa externa:
q''_{\text{desejado}} = \frac{k_m}{L_m}\bigl(T_b - T_{s,\text{ext}}\bigr).
Então
T_b = T_{s,\text{ext}} + \frac{q''_{\text{desejado}}\,L_m}{k_m}.
Substituindo números com T_{s,\text{ext}}=40^\circ\mathrm{C}:
T_b = 40 + \frac{150\times 0{,}15}{90} = 40 + 0{,}25 = 40{,}25^\circ\mathrm{C}.
  • Agora a queda de temperatura no isolante de T_{\text{intf}}=300^\circ\mathrm{C} até T_b=40{,}25^\circ\mathrm{C} deve suportar o mesmo fluxo; pela lei de condução:
q''_{\text{desejado}} = \frac{k_{\text{ins}}}{L}\bigl(T_{\text{intf}} - T_b\bigr).
Isolando L:
L = \frac{k_{\text{ins}}\bigl(T_{\text{intf}} - T_b\bigr)}{q''_{\text{desejado}}}.
Substituindo valores:
L = \frac{5\,(300 - 40{,}25)}{150}=\frac{5\times 259{,}75}{150}=\frac{1298{,}75}{150}=8{,}6583\\ \mathrm{m}.

Passo 9

Interpretação física e observação prática (muito importante):
  • O cálculo acima mostra que, se a interface isolante–metal interna estiver realmente a 300^\circ\mathrm{C}, para reduzir o fluxo transmitido ao ponto que a superfície externa fique a 40^\circ\mathrm{C} (dado o coeficiente convectivo externo h_{\text{ext}}=10), seria necessária uma espessura de isolante de aproximadamente 8{,}66\\ \mathrm{m}. Isso é obviamente impraticável na engenharia e mostra que a condição de T_{\text{intf}}=300^\circ\mathrm{C} impõe um fluxo interno extremamente alto (calculado 1950\\ \mathrm{W/m^2}) — para termos uma superfície externa segura precisaríamos ou de um isolante absurdamente grosso ou melhorar drasticamente a troca de calor externa (aumentar h_{\text{ext}}) ou reduzir a temperatura/interface interna.
  • Além disso há uma observação conceitual: o enunciado deu T_{\text{intf}}=300^\circ\mathrm{C} como dado fixo. Em um problema real, as temperaturas se ajustam conjuntamente: escolher L afeta o fluxo e, portanto, as temperaturas internas. Mantê-la fixa e tentar ajustar L é um exercício de cálculo mas pode conduzir a soluções impraticáveis (como aqui). De todo modo, o valor numérico calculado para L sob essa hipótese é \approx 8{,}66\\ \mathrm{m}.

Resposta

a) Temperatura da superfície interna do metal em contato com o fluido do forno: 303{,}25^\circ\mathrm{C}; temperatura da superfície externa do metal em contato com o fluido externo: 220^\circ\mathrm{C}.\n
b) Espessura do isolante necessária (mantendo T_{\text{intf}}=300^\circ\mathrm{C}) para obter T_{s,\text{ext}}=40^\circ\mathrm{C}: L \approx 8{,}66\\ \mathrm{m}.

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