Questão ( 2,5 Pontos): A parede de um forno de secagem é construida com a colocação de um material isolante, de condutividade térmica (k) é igual a
, entre duas folhas de metal de condutividade térmica (k) igual a
. Cada folha metálica tem 15 cm de espessura. O ar no interior do forno está a uma temperatura igual a
e o coeficiente convectivo correspondente é hforno
. Na superficie interna da parede está incidindo um fluxo radiante G igual
. A temperatura do ar no ambiente externo ao forno é Tex igual a 25
e o coeficiente para a convecção do ar externo é h igual a
. Sabendo que o coeficiente de absortividade da superficie da parede interna ao forno é igual a 0,8 e que a temperatura na interface isolante metal mais próxima ao interior do forno é
. A área da parede é igual a
. Calcule:
a) As temperaturas das camadas de metal em contato com os fluidos internos e externos.
b) Qual espessura
do isolamento é necessária para manter a superficie externa da parede a uma temperatura segura para o toque em
?
a) As temperaturas das camadas de metal em contato com os fluidos internos e externos.
b) Qual espessura
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- a) Calcular as temperaturas das camadas de metal em contato com os fluidos interno (forno) e externo (ambiente).
- b) Determinar a espessura
do isolamento necessária para que a superfície externa da parede atinja .
Dados fornecidos (vou listar TODOS os dados relevantes que o enunciado dá):
Observação importante: o enunciado deu explicitamente
(temperatura na interface isolante-metal mais próxima do interior). Essa condição será usada nas balanços térmicos. A resolução continuará a partir desses dados.
Passo 2
Breve explicação do modelo físico e das equações que vamos usar (aula curta e prática):
- Energia que entra pela superfície interna vem por convecção do ar interno mais radiação absorvida. O fluxo de calor por unidade de área que sai da superfície interna (em regime permanente) é:
onde
é a temperatura da superfície interna do metal (lado gás interno) e
é a fração do fluxo radiativo absorvida pela superfície.
- Dentro da chapa metálica (espessura
) a condução é praticamente unidimensional e linear (metal com alta condutividade). Para uma chapa de condutividade e espessura :
onde
é a temperatura da face da chapa que toca o isolante (dada no enunciado).
- Em regime permanente o fluxo que chega pela convecção+radiacao na face interna deve ser exatamente o que atravessa a chapa por condução (mesmo
). Isso nos dá uma equação para achar . - Depois, sabendo
, podemos propagar esse fluxo pela parede para fora. A superfície externa do metal estará em equilíbrio entre o fluxo que chega por condução e o que é removido por convecção ao ambiente:
onde
é a temperatura da superfície externa do metal (lado ambiente).
- Para a parte (b) usaremos essas equações e a relação de condução no isolante para encontrar
quando imposto . Vou mostrar por que há uma implicação física importante entre , e (atenção para possível inconsistência se se fixam simultaneamente certas temperaturas).
Passo 3
Calcular o fluxo radiativo absorvido na superfície interna:
Isso é energia extra que entra na superfície além da convecção.
Passo 4
Equação de balanço na superfície interna (convecção + radiação absorvida = condução pela chapa para a interface):
Agora substituímos os valores numéricos:
Calcule a condutância da chapa:
Portanto a equação fica:
Passo 5
Resolver a equação para
:
Primeiro calcular o lado esquerdo expandido:
Primeiro calcular o lado esquerdo expandido:
Colocando tudo de um lado:
Somando
e somando
aos dois lados:
Comentários didáticos: a superfície interna do metal fica só um pouco mais quente que a interface (300°C), porque a chapa metálica tem alta condutividade e pequena queda de temperatura apesar do grande fluxo.
Passo 6
Calcular o fluxo de calor por unidade de área (
) usando a expressão de condução na chapa (ou usando a parte convecção + radiação; é consistente):
Energia total atravessando a área
:
Passo 7
Calcular a temperatura da superfície externa do metal em contato com o ar ambiente (
). Em regime, o fluxo que chega à superfície externa por condução deve ser removido por convecção:
Isolando
:
Comentário físico importante (preste atenção): esse resultado significa que, com a interface interna fixa em
, o fluxo que atravessa a parede é muito grande (
), portanto a superfície externa ficará muito quente (
) se a espessura do isolante não for suficiente para reduzir esse fluxo. Portanto, sem mudar a condição da interface, a superfície externa não estará segura ao toque.
Passo 8
Agora a parte (b): determinar
de isolante necessário para que a superfície externa atinja
.
Primeiro razão física: se queremos
, a convecção externa removerá por área:
Ou seja, a parede teria que transmitir apenas
do interior para o exterior para que a superfície externa fique a
.
Se mantivermos a condição dada
(lado do isolante voltado ao interior), então o fluxo através do isolante deve ser esse
. Vamos calcular a espessura
que produz esse fluxo, considerando também a queda de temperatura na chapa externa entre a face do isolante e a face externa do metal.
Procedimento:
- Temperatura na face interna da chapa externa (lado que toca o isolante) será
. Pela condução na chapa externa:
Então
Substituindo números com
:
- Agora a queda de temperatura no isolante de
até deve suportar o mesmo fluxo; pela lei de condução:
Isolando
:
Substituindo valores:
Passo 9
Interpretação física e observação prática (muito importante):
- O cálculo acima mostra que, se a interface isolante–metal interna estiver realmente a
, para reduzir o fluxo transmitido ao ponto que a superfície externa fique a (dado o coeficiente convectivo externo ), seria necessária uma espessura de isolante de aproximadamente . Isso é obviamente impraticável na engenharia e mostra que a condição de impõe um fluxo interno extremamente alto (calculado ) — para termos uma superfície externa segura precisaríamos ou de um isolante absurdamente grosso ou melhorar drasticamente a troca de calor externa (aumentar ) ou reduzir a temperatura/interface interna. - Além disso há uma observação conceitual: o enunciado deu
como dado fixo. Em um problema real, as temperaturas se ajustam conjuntamente: escolher afeta o fluxo e, portanto, as temperaturas internas. Mantê-la fixa e tentar ajustar é um exercício de cálculo mas pode conduzir a soluções impraticáveis (como aqui). De todo modo, o valor numérico calculado para sob essa hipótese é .
Resposta
a) Temperatura da superfície interna do metal em contato com o fluido do forno:
; temperatura da superfície externa do metal em contato com o fluido externo:
\n
b) Espessura do isolante necessária (mantendo ) para obter
:
b) Espessura do isolante necessária (mantendo