3^{\circ} - Questão Um sistema de irrigação automatizado utiliza três sensores: S1 um sensor de umidade do solo (solo sec =1, solo úmido =0 ); S 2 um sensor de nivel de água do reservatório (suficiente =1, nível baixo =0 ); S3 um sensor de chuva (se está chovendo =1, sem chuva =0 ). O sistema possui um atuador B que liga a bomba de irrigação. A bomba deve ser ligada somente quando o solo estiver seco, houver água no reservatório e não estiver chovendo.
a) (1,0 ponto) Construa a tabela-verdade;
b) ( 1,0 ponto) Determine a a função booleana mínima para \mathbf{B}, simplificando-a utilizando somente teoremas booleanos.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. (a) Construir a tabela-verdade para o atuador B em função dos sensores S_1, S_2 e S_3.
  2. (b) Determinar a função booleana mínima para B, simplificando-a usando teoremas booleanos.
Informações relevantes dadas (valores binários dos sensores):
  • S_1: sensor de umidade do solo, com 1 = solo seco e 0 = solo úmido.
  • S_2: sensor de nível do reservatório, com 1 = água suficiente e 0 = nível baixo.
  • S_3: sensor de chuva, com 1 = está chovendo e 0 = sem chuva.
Condição de acionamento da bomba B:
  • A bomba deve ser ligada somente quando o solo estiver seco, houver água no reservatório e não estiver chovendo.

Passo 2

Interpretação lógica da condição: “somente quando o solo estiver seco, houver água e não estiver chovendo” significa que B será verdadeiro (igual a 1) exatamente quando
S_1 = 1,\quad S_2 = 1,\quad S_3 = 0.
Ou, em linguagem booleana, B será a conjunção (AND) de S_1 e S_2 e da negação de S_3.
Antes de simplificar, vamos montar a tabela-verdade completa com todas as 2^3=8 combinações de entrada (S_1,S_2,S_3). Vou usar a ordem binária padrão de 0 a 7.

Passo 3

Construção detalhada da tabela-verdade. Para cada linha verifico a condição dada (solo seco S_1=1, água suficiente S_2=1, sem chuva S_3=0):
(S_1,S_2,S_3) = (0,0,0) : como S_1=0 ou S_2=0, a condição não é satisfeita ⇒ B=0.
(S_1,S_2,S_3) = (0,0,1) : chove ( S_3=1) e/ou solo não seco ⇒ B=0.
(S_1,S_2,S_3) = (0,1,0) : solo não seco ( S_1=0) ⇒ B=0.
(S_1,S_2,S_3) = (0,1,1) : solo não seco e/ou chove ⇒ B=0.
(S_1,S_2,S_3) = (1,0,0) : reservatório insuficiente ( S_2=0) ⇒ B=0.
(S_1,S_2,S_3) = (1,0,1) : reservatório insuficiente e/ou chove ⇒ B=0.
(S_1,S_2,S_3) = (1,1,0) : solo seco, água suficiente e sem chuva ⇒ condição satisfeita ⇒ B=1.
(S_1,S_2,S_3) = (1,1,1) : chove ( S_3=1) ⇒ não ligar ⇒ B=0.
Assim temos a tabela-verdade completa listada de forma compacta a seguir.

Passo 4

Apresento a tabela-verdade completa (cada linha é (S_1,S_2,S_3):B):
(0,0,0):0
(0,0,1):0
(0,1,0):0
(0,1,1):0
(1,0,0):0
(1,0,1):0
(1,1,0):1
(1,1,1):0
Observação: peguei cada combinação dos sensores e apliquei a regra dada no enunciado para decidir B.

Passo 5

Agora transformamos a tabela-verdade em uma expressão booleana canônica (soma de minterms) e simplificamos.
Definição rápida e didática: um minterm é o produto (AND) de todas as variáveis ou de suas negações, de forma que o minterm seja 1 apenas para uma combinação específica de entradas. Por exemplo, o minterm correspondente à linha (1,1,0) é S_1\land S_2 \land \lnot S_3, que em notação compacta escrevemos \,S_1 S_2 \overline{S_3}.
Da tabela, o único caso em que B=1 ocorre para (S_1,S_2,S_3)=(1,1,0). Portanto a soma de minterms (forma canônica) é simplesmente
B = S_1 S_2 \overline{S_3}.

Passo 6

Simplificação usando teoremas booleanos (mostro que essa forma já é mínima):
  • A expressão obtida é um único produto de literais: \,S_1 S_2 \overline{S_3}.
  • Em termos de teoremas booleanos: não existe nenhuma das leis (identidade, absorção, consenso etc.) que permita remover um literal dessa conjunção sem alterar a função. Por exemplo, se removêssemos S_2 e tentássemos S_1 \overline{S_3}, essa nova expressão seria 1 para (S_1,S_2,S_3)=(1,0,0), o que contradiz a tabela (lá B=0 nessa linha). Mesmo argumento vale para remover S_1 ou \overline{S_3}. Logo não há litera redundante.
  • Portanto a expressão \,S_1 S_2 \overline{S_3} já é a forma mínima (produto de literais sem possibilidade de redução).
Resumo dos teoremas/conceitos usados:
  • Minterm: produto de todas as variáveis (ou suas negações) para uma linha específica.
  • Soma de minterms: soma (OR) de todos os minterms correspondentes às linhas onde a função vale 1.
  • Verificação de redundância: tentativa de aplicar absorção/eliminação de literais e checar que isso cria 1 em linhas onde a função original tem 0, portanto não é permitido.

Resposta

a) Tabela-verdade:
(0,0,0):0
(0,0,1):0
(0,1,0):0
(0,1,1):0
(1,0,0):0
(1,0,1):0
(1,1,0):1
(1,1,1):0
b) Função booleana mínima:
B = S_1 S_2 \overline{S_3}

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