Construa o circuito lógico que corresponda a tabela verdade:
A B C \mathbf{X}
0 0 0 0
0 0 1 1
0 1 0 1
0 1 1 0
1 0 0 0
1 0 1 1
1 1 0 0
1 1 1 1

Passo 1

O que o enunciado pede: construir um circuito lógico que implemente a função booleana X cuja tabela verdade é dada.
Informações dadas (listei todas as linhas onde X=1, pois são as relevantes para montar a expressão):
\begin{aligned} &A=0,\;B=0,\;C=1 \quad\text{(minterm }m_1\text{)}\\\ &A=0,\;B=1,\;C=0 \quad\text{(minterm }m_2\text{)}\\\ &A=1,\;B=0,\;C=1 \quad\text{(minterm }m_5\text{)}\\\ &A=1,\;B=1,\;C=1 \quad\text{(minterm }m_7\text{)} \end{aligned}
Portanto os minterms onde X=1 são m_1,m_2,m_5,m_7.
Nada mais será assumido neste passo — a resolução começa no próximo passo.

Passo 2

Primeira ideia: escrever X como soma (OR) dos minterms. Vou ensinar o que é um minterm e como convertê-lo em expressão booleana.
  • Um minterm é um produto (AND) que corresponde a uma linha da tabela verdade. Por exemplo, a linha A=0,\;B=0,\;C=1 corresponde ao minterm \overline{A}\,\overline{B}\,C (porque A=0 vira \overline{A}, B=0 vira \overline{B}, C=1 vira C).
  • A função é a soma (OR) de todos os minterms que produzem 1.
Aplicando isso aos minterms listados:
X = \overline{A}\,\overline{B}\,C \;+\; \overline{A}\,B\,\overline{C} \;+\; A\,\overline{B}\,C \;+\; A\,B\,C.
Expliquei como obter essa expressão diretamente da tabela — agora vamos simplificar para um circuito mais simples.

Passo 3

Vou mostrar técnicas de simplificação (agrupamento / fatoração) e explicar cada identidade usada, para você poder aplicar na prova.
Começo agrupando termos que têm partes em comum:
\overline{A}\,\overline{B}\,C \;+\; A\,\overline{B}\,C
os dois termos têm \overline{B}\,C em comum, então aplicamos fator comum:
\overline{A}\,\overline{B}\,C \;+\; A\,\overline{B}\,C = (\overline{A}+A)\,\overline{B}\,C = 1\cdot \overline{B}\,C = \overline{B}\,C.
Explicação da identidade usada: \overline{A}+A = 1 (uma variável ou seu complemento cobrem todos os casos).
Agora a expressão fica:
X = \overline{B}\,C \;+\; \overline{A}\,B\,\overline{C} \;+\; A\,B\,C.
Agrupo os dois termos restantes que têm B em comum:
\overline{A}\,B\,\overline{C} \;+\; A\,B\,C = B\bigl(\overline{A}\,\overline{C} + A\,C\bigr).
Observe o parêntese: \overline{A}\,\overline{C} + A\,C. Essa é justamente a função XNOR entre A e C: A \text{ XNOR } C = A C + \overline{A}\,\overline{C}. Em palavras, XNOR é 1 quando A e C têm o mesmo valor.
Então podemos escrever:
X = \overline{B}\,C \;+\; B\,(A\\ \text{XNOR}\\ C).
Se você preferir uma forma sem o operador XNOR (apenas AND/OR/NOT), substituímos A\\ \text{XNOR}\\ C por A C + \overline{A}\,\overline{C}, voltando à forma:
X = \overline{B}\,C \;+\; B\,(A C + \overline{A}\,\overline{C}).
Agora faço mais uma fatoração para obter uma forma alternativa útil para o circuito. Expando e recombino:
X = \overline{B}\,C + B A C + B\overline{A}\,\overline{C}.
Observe os termos \overline{B}\,C e B A C; ambos têm C em comum com parte OR sobre B e A. Podemos usar a identidade \overline{B} + B A = \overline{B} + A (mostro por passos: \overline{B} + BA = (\overline{B}+B)(\overline{B}+A) = 1\cdot(\overline{B}+A) = \overline{B}+A). Assim:
\overline{B}\,C + B A C = C(\overline{B} + B A) = C(\overline{B}+A).
Portanto outra forma compacta é
X = C(\,A + \overline{B}\,) \;+\; B\,\overline{A}\,\overline{C}.
Essa é uma forma bem prática para implementar com portas básicas.
Resumo das formas úteis que você pode escolher para o circuito:
\boxed{X = \overline{B}\,C \;+\; B\,(A\\ \text{XNOR}\\ C)}
ou, sem XNOR,
\boxed{X = \overline{B}\,C \;+\; B\,(A C + \overline{A}\,\overline{C})}
ou ainda
\boxed{X = C\,(\,A+\overline{B}\,) \;+\; B\,\overline{A}\,\overline{C}}.

Passo 4

Como montar o circuito passo a passo (vou dar duas opções: com porta XNOR e só com AND/OR/NOT).
Opção A — usando XNOR (mais simples conceitualmente):
  1. Faça um inversor para B e obtenha \overline{B}.
  2. Faça uma porta AND entre \overline{B} e C para obter D = \overline{B}\,C.
  3. Faça uma porta XNOR entre A e C para obter E = A\\ \text{XNOR}\\ C. (Se seu kit tem XNOR, ótimo.)
  4. Faça uma porta AND entre B e E para obter F = B\,E.
  5. Faça uma porta OR entre D e F: X = D + F.
Opção B — só AND/OR/NOT (sem XNOR):
  1. Inverta A e C para obter \overline{A} e \overline{C}. (Também inverta B para \overline{B}.)
  2. Faça AND entre \overline{B} e C para obter D=\overline{B}\,C. (cobre os casos B=0 e C=1).
  3. Faça AND entre A e C para obter G = A C.
  4. Faça AND entre \overline{A} e \overline{C} para obter H = \overline{A}\,\overline{C}.
  5. Faça OR entre G e H para obter E = A C + \overline{A}\,\overline{C} (este é o XNOR implementado).
  6. Faça AND entre B e E para obter F = B E.
  7. Finalmente, faça OR entre D e F para obter X = D + F.
Dica prática para a prova: se sua prova permite portas XNOR, memorize a forma X = \overline{B}C + B(A\\ \text{XNOR}\\ C) — é curta e direta. Se só permitem AND/OR/NOT, use a segunda forma e siga os passos da Opção B.

Resposta

X = \overline{B}\,C \;+\; B\,(A\\ \text{XNOR}\\ C) \n
Implementação com portas básicas: inverter B e AND com C ( \overline{B}C); construir A C + \overline{A}\,\overline{C} (XNOR) e AND com B; OR final entre esses dois termos.

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