3^circ ) Questão.
Se
sumi=0^infty an é absolutamente conver>=nte, então mostre que sumi=0^infty an^2 conver>= éã

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se a série sumn=0^inftyan é absolutamente convergente, ou seja, sumn=0^inftylvert anrvert converge, então a série sumn=0^inftyan^2 também converge. O conteúdo principal é teste de comparação para séries numéricas.

Passo 2

Pela definição de convergência absoluta, sabemos que
sumn=0^inftylvert anrvertconver>=
Dessa convergência segue que lvert anrvertto 0 quando ntoinfty.

Passo 3

Como lvert anrvertto 0, existe um índice N tal que, para todo n>N,
lvert anrvert < 1

Passo 4

Para n>N temos 0 <= an^2 = lvert anrvert^2 <= lvert anrvert, pois lvert anrvert<1 implica lvert anrvert^2<= lvert anrvert.

Passo 5

Aplicando o teste de comparação, como
sumn=N+1^inftylvert anrvertconver>=
e para n>N vale an^2<= lvert anrvert, conclui-se que
sumn=N+1^inftyan^2conver>=

Passo 6

Os termos iniciais sumn=0^Nan^2 formam uma soma finita, logo convergente. Unindo com a parte infinita, obtemos que
sumn=0^inftyan^2
converge.

Resposta

A série sumn=0^inftyan^2 converge.

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