Ache os pontos da superfície z=x^2+y^2 que estão mais próximos do ponto (5,5,0). Determine a distância mínima.

Passo 1

O enunciado pede os pontos da superfície ,z=x^2+y^2 que minimizam a distância até o ponto (5,5,0). O conteúdo é otimização sem restrição direta em (x,y), usando a substituição z=x^2+y^2 e minimizando a distância ao ponto dado.

Passo 2

Escrevemos a distância ao quadrado (para evitar raiz) como função de (x,y):
D^2(x,y) = (x-5)^2 + (y-5)^2 + l(x^2+y^2r)^2

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero:
partial D^2partial x = 2(x-5) + 4x,(x^2+y^2) = 0,
partial D^2partial y = 2(y-5) + 4y,(x^2+y^2) = 0
Dividindo cada uma por 2:
(x-5) + 2xR = 0, (y-5) + 2yR = 0,
onde R=x^2+y^2.

Passo 4

Das duas equações segue
x(1+2R)=5, y(1+2R)=5
logo x=y. Seja t=x=y; então R=2t^2 e
tl(1+2cdot2t^2r)=5 ;Longrightarrow; t(1+4t^2)=5 ;Longrightarrow; 4t^3+t-5=0
Testando t=1 vemos que é raiz e os outros dois são complexos. Logo t=1.

Passo 5

Temos x=y=1 e z=x^2+y^2=2. Esse é o ponto da superfície mais próximo de (5,5,0). A distância mínima vale
Dmin = raiz(1-5)^2 + (1-5)^2 + 2^2 = raiz16 + 16 + 4 = raiz36 =6

Resposta

O ponto mais próximo é (1,1,2) e a distância mínima é 6.

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