1^{\circ} Questão: (Valor: 1,0 ponto)
Uma viga biapoiada de comprimento L está sujeita a uma força concentrada F atuante a uma distância \mathrm{L} / 4 de uma de suas extremidades.
O momento fletor máximo e a força cisalhante máxima atuantes na viga são expressos, respectivamente, por
A) F L / 4 e F / 4
B) F L / 4 e 3 F / 4
C) 3 F L / 4 e F / 4
D) 3 F L / 16 e F / 4
E) 3 F L / 16 e 3 F / 4

Passo 1

Enunciado e dados importantes (o que a questão pede):\n
  • Temos uma viga biapoiada (simplesmente apoiada nas duas extremidades) de comprimento L.\n
  • Uma força concentrada F atua a uma distância \tfrac{L}{4} de uma das extremidades (vou chamar essa extremidade de apoio esquerdo A).\n
  • Pergunta: determinar o momento fletor máximo e a força cisalhante máxima atuantes na viga, expressos em função de F e L.\n
    Observações sobre os dados: a força está a uma distância a=\tfrac{L}{4} do apoio esquerdo e, portanto, a distância até o apoio direito é b=L-a=\tfrac{3L}{4}.

Passo 2

Definimos as reações nos apoios e escrevemos as equações de equilíbrio (princípio de estática)\n
  • Denotemos as reações verticais nos apoios por R_A (apoio esquerdo) e R_B (apoio direito).\n
  • Equilíbrios estáticos relevantes para uma viga no plano: soma das forças verticais igual a zero e soma dos momentos em torno de um ponto igual a zero.\n
    As equações são:\n
R_A + R_B - F = 0\n
(equilíbrio vertical)\n
e, tomando momentos em torno do apoio A (para eliminar R_A):\n
R_B \, L - F \, a = 0\n
onde a=\tfrac{L}{4}.

Passo 3

Cálculo de R_B usando o equilíbrio de momentos em torno de A.\n
Da equação dos momentos temos:\n
R_B \, L = F \, a.\n
Isolando R_B:\n
R_B = \frac{F \, a}{L}.\n
Substituindo a=\tfrac{L}{4}:\n
R_B = \frac{F \cdot \tfrac{L}{4}}{L} = \frac{F}{4}.

Passo 4

Cálculo de R_A usando o equilíbrio vertical.\n
Da equação R_A + R_B = F obtemos:\n
R_A = F - R_B.\n
Substituindo R_B=\tfrac{F}{4}:\n
R_A = F - \frac{F}{4} = \frac{3F}{4}.\n
Interpretação: o apoio mais próximo da carga (apoio esquerdo) tem reação maior \tfrac{3F}{4}, como era de esperar.

Passo 5

Determinar a força cisalhante ao longo da viga e identificar o seu valor máximo.\n
  • A força cortante (cisalhante) V(x) tem saltos nas posições de cargas concentradas. Para 0<x<a (entre o apoio esquerdo e a carga) o único carregamento vertical abaixo é R_A, então:\n
V(x)=R_A=\frac{3F}{4}\quad\text{para }0<x<a.\n
  • Imediatamente à direita da carga (para a<x<L) a força cortante é R_A - F, pois subtrai-se a carga concentrada:\n
V(x)=R_A - F=\frac{3F}{4}-F=-\frac{F}{4}\quad\text{para }a<x<L.\n
  • Portanto os valores de cisalhante ao longo da viga são \tfrac{3F}{4} (antes da carga) e -\tfrac{F}{4} (depois da carga). O máximo absoluto ocorre em \tfrac{3F}{4}.\n
    Conclusão: a força cisalhante máxima é \tfrac{3F}{4}.

Passo 6

Determinar o momento fletor ao longo da viga e encontrar o momento fletor máximo.\n
  • Para 0\le x \le a (trecho entre A e a carga), o momento em uma seção a uma distância x do apoio esquerdo é apenas o resultado da reação R_A atuando a uma alavanca x:\n
M(x)=R_A \, x = \frac{3F}{4}\, x.\n
Esse é uma função linear crescente em x nesse trecho, então o maior momento nessa região ocorre no ponto mais próximo da carga, em x=a.\n
  • O valor do momento na posição da carga x=a (que é também o momento máximo da viga neste caso) é:\n
M_{\max}=M(a)=R_A \, a = \frac{3F}{4}\cdot \frac{L}{4} = \frac{3F L}{16}.\n
  • Verificação alternativa (do lado direito): podemos calcular o momento em x=a usando a reação do apoio direito R_B como alavanca b:\n
M(a)=R_B \, b = \frac{F}{4}\cdot \frac{3L}{4} = \frac{3F L}{16},\n
o que confirma o mesmo resultado.\n
  • Em ambos os apoios o momento é zero (condição de apoio simples), então o valor \tfrac{3F L}{16} realmente é o máximo absoluto do momento ao longo da viga.

Resposta

E)
\dfrac{3 F L}{16}
\dfrac{3 F}{4}

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