Determine a solução geral de
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Nos é dada a equação diferencial
- O pedido: determinar a solução geral
dessa equação (ou seja, encontrar a família de soluções que contém as constantes arbitrárias). - Informação relevante extraída do enunciado: o termo do lado direito é
, que pode ser reescrito em somatório de cossenos (isso costuma facilitar muito). Não há condições iniciais fornecidas, então queremos a solução geral com constantes arbitrárias.
Passo 2
Converter
em termos de cossenos de ângulos simples (identidade trigonométrica).
A identidade do cosseno de triplo ângulo diz
A identidade do cosseno de triplo ângulo diz
Isolando
obtemos
Essa forma é útil porque transforma o lado direito em combinação linear de funções
e
.
Passo 3
Substituindo a identidade na equação original obtemos uma forma mais manejável:
Como a equação é linear, podemos procurar uma solução particular como soma das soluções particulares correspondentes a cada termo do lado direito.
Passo 4
Encontrar a solução geral da equação homogênea associada.
A homogênea é
A homogênea é
A equação característica é
, cujas raízes são
. Isso dá a solução homogênea
onde
e
são constantes arbitrárias. Explicando: para equações lineares com coeficientes constantes, as soluções fundamentais associadas a
são
e
.
Passo 5
Explicar a estratégia para encontrar uma solução particular
.
- Usaremos o método dos coeficientes indeterminados: como o lado direito é combinação de funções trigonométricas simples, tentamos uma forma de
que gere esse tipo de função após aplicarmos o operador . - Atenção ao fenômeno de ressonância: o termo
aparece na homogênea (já é solução da homogênea), então a forma usual falharia — precisamos multiplicar por para obter um ansatz compatível. Já o termo não causa ressonância (frequência diferente), então usamos o ansatz padrão para cosseno de frequência .
Passo 6
Procurar solução particular referente ao termo
.
- Pela observação de ressonância, tentamos
com
a determinar.
- Calculamos derivadas (faça devagar na prova; aqui explico passo a passo):
Derivando:
Derivando de novo:
Agora aplicamos o operador
:
Note que os termos em
se cancelam:
Fica então
Queremos que isso iguale
. Igualando coeficientes de
e
:
Portanto
Logo
Passo 7
Procurar solução particular referente ao termo
.
- Aqui não há ressonância, então tentamos
com
a determinar.
- Derivando:
Aplicando
:
Queremos isto igual a
. Igualando coeficientes:
Assim
Portanto
Passo 8
Combinar as soluções particulares e a homogênea para obter a solução geral.
- A solução particular total é
- Somando com a homogênea obtemos a solução geral
onde
são constantes arbitrárias.