Determine a solução geral de y^{\prime \prime}+y=\cos ^{3} x

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Nos é dada a equação diferencial
y'' + y = \cos^{3} x.
  • O pedido: determinar a solução geral y(x) dessa equação (ou seja, encontrar a família de soluções que contém as constantes arbitrárias).
  • Informação relevante extraída do enunciado: o termo do lado direito é \cos^{3}x, que pode ser reescrito em somatório de cossenos (isso costuma facilitar muito). Não há condições iniciais fornecidas, então queremos a solução geral com constantes arbitrárias.

Passo 2

Converter \cos^{3}x em termos de cossenos de ângulos simples (identidade trigonométrica).
A identidade do cosseno de triplo ângulo diz
\cos 3x = 4\cos^{3}x - 3\cos x.
Isolando \cos^{3}x obtemos
\cos^{3}x = \frac{3\cos x + \cos 3x}{4}.
Essa forma é útil porque transforma o lado direito em combinação linear de funções \cos x e \cos 3x.

Passo 3

Substituindo a identidade na equação original obtemos uma forma mais manejável:
y'' + y = \frac{3}{4}\cos x + \frac{1}{4}\cos 3x.
Como a equação é linear, podemos procurar uma solução particular como soma das soluções particulares correspondentes a cada termo do lado direito.

Passo 4

Encontrar a solução geral da equação homogênea associada.
A homogênea é
y'' + y = 0.
A equação característica é r^{2}+1=0, cujas raízes são r=\pm i. Isso dá a solução homogênea
y_{h}(x)=C_{1}\cos x + C_{2}\sin x,
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias. Explicando: para equações lineares com coeficientes constantes, as soluções fundamentais associadas a r=\pm i são \cos x e \sin x.

Passo 5

Explicar a estratégia para encontrar uma solução particular y_{p}.
  • Usaremos o método dos coeficientes indeterminados: como o lado direito é combinação de funções trigonométricas simples, tentamos uma forma de y_{p} que gere esse tipo de função após aplicarmos o operador L[y]=y''+y.
  • Atenção ao fenômeno de ressonância: o termo \cos x aparece na homogênea (já é solução da homogênea), então a forma usual A\cos x + B\sin x falharia — precisamos multiplicar por x para obter um ansatz compatível. Já o termo \cos 3x não causa ressonância (frequência diferente), então usamos o ansatz padrão para cosseno de frequência 3.

Passo 6

Procurar solução particular referente ao termo \dfrac{3}{4}\cos x.
  • Pela observação de ressonância, tentamos
y_{p1}(x)=x\bigl(A\cos x + B\sin x\bigr),
com A,B a determinar.
  • Calculamos derivadas (faça devagar na prova; aqui explico passo a passo):
y_{p1}=A x\cos x + B x\sin x.
Derivando:
y_{p1}' = A\cos x - A x\sin x + B\sin x + B x\cos x = (A\cos x + B\sin x) + x(-A\sin x + B\cos x).
Derivando de novo:
y_{p1}'' = -A\sin x + B\cos x + (-A\sin x + B\cos x) + x(-A\cos x - B\sin x)
= -2A\sin x + 2B\cos x + x(-A\cos x - B\sin x).
Agora aplicamos o operador L:
y_{p1}'' + y_{p1} = \bigl(-2A\sin x + 2B\cos x + x(-A\cos x - B\sin x)\bigr) + \bigl(A x\cos x + B x\sin x\bigr).
Note que os termos em x se cancelam:
x(-A\cos x - B\sin x) + x(A\cos x + B\sin x) = 0.
Fica então
y_{p1}'' + y_{p1} = -2A\sin x + 2B\cos x.
Queremos que isso iguale \dfrac{3}{4}\cos x. Igualando coeficientes de \cos x e \sin x:
2B = \frac{3}{4},\qquad -2A = 0.
Portanto
A=0,\qquad B=\frac{3}{8}.
Logo
y_{p1}(x)=\frac{3}{8}\,x\sin x.

Passo 7

Procurar solução particular referente ao termo \dfrac{1}{4}\cos 3x.
  • Aqui não há ressonância, então tentamos
y_{p2}(x)=C\cos 3x + D\sin 3x,
com C,D a determinar.
  • Derivando:
y_{p2}'' = -9C\cos 3x -9D\sin 3x.
Aplicando L:
y_{p2}'' + y_{p2} = (-9C + C)\cos 3x + (-9D + D)\sin 3x = -8C\cos 3x -8D\sin 3x.
Queremos isto igual a \dfrac{1}{4}\cos 3x. Igualando coeficientes:
-8C = \frac{1}{4},\qquad -8D = 0.
Assim
C = -\frac{1}{32},\qquad D=0.
Portanto
y_{p2}(x) = -\frac{1}{32}\cos 3x.

Passo 8

Combinar as soluções particulares e a homogênea para obter a solução geral.
  • A solução particular total é
y_{p}(x)=y_{p1}(x)+y_{p2}(x)=\frac{3}{8}x\sin x - \frac{1}{32}\cos 3x.
  • Somando com a homogênea obtemos a solução geral
y(x)=C_{1}\cos x + C_{2}\sin x + \frac{3}{8}x\sin x - \frac{1}{32}\cos 3x,
onde C_{1},C_{2} são constantes arbitrárias.

Resposta

y(x)=C_{1}\cos x + C_{2}\sin x + \frac{3}{8}x\sin x - \frac{1}{32}\cos 3x

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