circledast Dadas a equações paramétricas de uma curva
x = 4 - t^2 e y = t^2 + 4t
encontre as retas tangentes, horizontal e vertical, ao gráfico desse par de equações e faça um esboço do gráfico.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a gente precisa resolver aqui. Temos as equações paramétricas de uma curva:
O objetivo é encontrar as retas tangentes horizontais e verticais dessa curva e esboçar o gráfico. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas em parametrizações para determinar onde a inclinação da curva é zero (retas horizontais) ou indefinida (retas verticais).

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar as derivadas de e em relação ao parâmetro . Isso nos ajudará a calcular a derivada de em relação a .
Derivando em relação a :
Derivando em relação a :

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de em relação a , que é dada por:

Passo 4

Para encontrar as retas tangentes horizontais, precisamos que a derivada seja igual a zero. Ou seja:
Isso ocorre quando o numerador é zero:

Passo 5

Com , vamos encontrar as coordenadas do ponto na curva substituindo na equação paramétrica.
Para :
Para :
Então, o ponto é . A reta tangente horizontal passa por esse ponto e tem inclinação zero, ou seja, é uma reta paralela ao eixo :

Passo 6

Agora, vamos encontrar as retas tangentes verticais. Para isso, a derivada deve ser indefinida, o que acontece quando .
Então,

Passo 7

Com , encontramos as coordenadas do ponto na curva:
Para :
Para :
Portanto, o ponto é . A reta tangente vertical passa por esse ponto e é uma reta paralela ao eixo :

Resposta

As retas tangentes ao gráfico das equações paramétricas dadas são:
  • Reta tangente horizontal:
  • Reta tangente vertical:

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