Calcule as integrais indefinidas:
Resposta:
Passo 1
Então, a gente tem que calcular a integral indefinida de
. Estamos lidando com integração de funções racionais aqui, ou seja, frações onde o numerador e o denominador são polinômios. Para resolver isso, vamos precisar usar frações parciais e logaritmos naturais.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a fração. Podemos reescrever o denominador:
Então, a integral fica:
Passo 3
Agora, vamos fazer a divisão polinomial para simplificar a fração. Dividindo
por
:
Então, a integral fica:
Passo 4
Vamos focar na segunda integral, que é uma fração mais complicada. Para resolver, vamos decompor em frações parciais. Queremos encontrar constantes
e
tais que:
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 5
Agora, vamos resolver para
e
. Expandindo a equação:
Agrupando os termos semelhantes:
Isso nos dá o sistema de equações:
Resolvendo, temos
e
.
Passo 6
Agora, substituímos
e
de volta nas frações parciais:
Então, a integral fica:
Resposta
Simplificando tudo, a integral indefinida é: