circledast Uma partícula move-se ao longo de uma curva com a equação vetorial
sigma(t) = t i + e^t j
Encontre as componentes tangencial e normal do vetor aceleração.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma partícula que se move ao longo de uma curva cuja posição em função do tempo é dada pela equação vetorial:
Nosso objetivo aqui é descobrir as componentes tangencial e normal do vetor aceleração dessa partícula. Para isso, vamos precisar usar um pouco de cálculo vetorial: vamos derivar a posição para achar a velocidade, depois derivar a velocidade para achar a aceleração, e daí separar essa aceleração nas partes que são na direção do movimento (tangencial) e perpendicular a ela (normal).

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a velocidade da partícula. A velocidade é simplesmente a derivada da posição em relação ao tempo. Então, derivando :
Então, a velocidade é .

Passo 3

Agora, vamos encontrar a aceleração da partícula, que é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
Então, a aceleração é .

Passo 4

Para achar a componente tangencial da aceleração, precisamos primeiro calcular a velocidade escalar (a rapidez), que é o módulo do vetor velocidade:
A componente tangencial da aceleração, , é a derivada da velocidade escalar em relação ao tempo:

Passo 5

Agora, para encontrar a componente normal da aceleração, usamos a relação que envolve a aceleração total, a componente tangencial e a velocidade:
Sabemos que a aceleração total , então:
Simplificando:

Resposta

As componentes da aceleração são:
e

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