Mostre que
.
Passo 1
Vamos analisar o limite
. Aqui, estamos trabalhando com o conceito de limites em funções que envolvem exponenciais e trigonometria. Para resolver isso, vamos precisar entender como as funções
e
se comportam quando
se aproxima de 0, além de aplicar o Teorema do Aperto (ou Teorema da “Sandwich”).
Passo 2
Primeiro, vamos entender o comportamento da função
quando
se aproxima de 0. Sabemos que o cosseno de qualquer número está sempre entre -1 e 1, ou seja:
Passo 3
Agora, vamos aplicar essa desigualdade na função exponencial
. Como a base 2 é positiva, a desigualdade se mantém:
Simplificando:
Passo 4
Com essa informação, podemos multiplicar todos os lados da desigualdade por
(que é sempre positivo):
Passo 5
Agora, vamos analisar os limites das extremidades quando
tende a 0:
Ambos os limites são iguais a 0.
Passo 6
Pelo Teorema do Aperto, se uma função está “presa” entre duas funções que têm o mesmo limite em um determinado ponto, então essa função também compartilha esse limite. Assim, temos: