Mostre que lim x 0 x^2 2^cos (1 / x)=0.

Passo 1

Vamos analisar o limite . Aqui, estamos trabalhando com o conceito de limites em funções que envolvem exponenciais e trigonometria. Para resolver isso, vamos precisar entender como as funções e se comportam quando se aproxima de 0, além de aplicar o Teorema do Aperto (ou Teorema da “Sandwich”).

Passo 2

Primeiro, vamos entender o comportamento da função -1 <= cos(1x) <= 1 quando se aproxima de 0. Sabemos que o cosseno de qualquer número está sempre entre -1 e 1, ou seja:

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa desigualdade na função exponencial 2^-1 <= 2^cos(1x) <= 2^1 . Como a base 2 é positiva, a desigualdade se mantém:
12 <= 2^cos(1x) <= 2
Simplificando:

Passo 4

Com essa informação, podemos multiplicar todos os lados da desigualdade por x^22 <= x^2 cdot 2^cos(1x) <= 2x^2 (que é sempre positivo):

Passo 5

Agora, vamos analisar os limites das extremidades quando limx to 0 x^22 = 0 e limx to 0 2x^2 = 0 tende a 0:
Ambos os limites são iguais a 0.

Passo 6

Pelo Teorema do Aperto, se uma função está “presa” entre duas funções que têm o mesmo limite em um determinado ponto, então essa função também compartilha esse limite. Assim, temos:
limx to 0 x^2 cdot 2^cos(1x) = 0

Resposta

lim x 0 x^2 cdot 2^cos (1 / x) = 0

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