Um circuito composto de um capacitor de capacitância está descarregando através de uma resistência R. a) Em termos da constante de tempo tau (que é igual ao produto de RC).
b) Em que instante a energia armazenada no capacitor será igual ao 25 % do seu valor inicial?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um circuito com um capacitor que está descarregando através de uma resistência . A matéria envolvida aqui é de circuitos elétricos, mais especificamente sobre descarga de capacitores. Para resolver as partes a) e b), vamos precisar entender a constante de tempo que é igual a , onde é a capacitância do capacitor.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como a tensão no capacitor diminui ao longo do tempo durante a descarga. A equação que descreve essa queda é:
V(t) = V0 , e^-ttau
Aqui, é a tensão no capacitor no instante , é a tensão inicial, e é a constante de tempo.

Passo 3

Agora, pausar e entender o que significa a constante de tempo . Ela nos dá uma ideia de quanto tempo leva para a tensão no capacitor diminuir para aproximadamente 37% do seu valor inicial. Isso é útil para entender a rapidez com que o capacitor está descarregando através da resistência .

Passo 4

Vamos para a parte b) do exercício: queremos saber em que instante a energia armazenada no capacitor será igual a 25% do seu valor inicial. Primeiramente, sabemos que a energia armazenada em um capacitor é dada por:
U = 12 C V^2
Então, a energia no instante U(t) = 12 C V(t)^2 = 12 C ( V0 , e^-ttau )^2 = 12 C V0^2 , e^-2ttau será:

Passo 5

Queremos que 12 C V0^2 , e^-2ttau = 0,25 times 12 C V0^2 , onde e^-2ttau = 0,25 . Então:
Podemos simplificar essa equação cancelando os termos comuns:

Passo 6

Para resolver para -2ttau = ln(0,25) , vamos aplicar o logaritmo natural nos dois lados da equação:
-2ttau = -ln(4)
Sabemos que 2ttau = ln(4) . Substituindo:
Multiplicando ambos os lados por -1:

Passo 7

Isolando t = ln(4)2 times tau :
t = ln(2) times tau
Como t approx 0,693 times tau , podemos simplificar ainda mais:
Sabemos que , então:

Resposta

O instante em que a energia armazenada no capacitor será igual a 25% do seu valor inicial é aproximadamente t approx 0,693 times tau , ou seja:

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