Um circuito composto de um capacitor de capacitância está descarregando através de uma resistência R. a) Em termos da constante de tempo
(que é igual ao produto de RC).
b) Em que instante a energia armazenada no capacitor será igual ao
do seu valor inicial?
b) Em que instante a energia armazenada no capacitor será igual ao
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um circuito com um capacitor que está descarregando através de uma resistência
. A matéria envolvida aqui é de circuitos elétricos, mais especificamente sobre descarga de capacitores. Para resolver as partes a) e b), vamos precisar entender a constante de tempo
que é igual a
, onde
é a capacitância do capacitor.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como a tensão no capacitor diminui ao longo do tempo durante a descarga. A equação que descreve essa queda é:
Aqui,
é a tensão no capacitor no instante
,
é a tensão inicial, e
é a constante de tempo.
Passo 3
Agora, pausar e entender o que significa a constante de tempo
. Ela nos dá uma ideia de quanto tempo leva para a tensão no capacitor diminuir para aproximadamente 37% do seu valor inicial. Isso é útil para entender a rapidez com que o capacitor está descarregando através da resistência
.
Passo 4
Vamos para a parte b) do exercício: queremos saber em que instante a energia armazenada no capacitor será igual a 25% do seu valor inicial. Primeiramente, sabemos que a energia armazenada em um capacitor é dada por:
Então, a energia no instante
será:
Passo 5
Queremos que
, onde
. Então:
Podemos simplificar essa equação cancelando os termos comuns:
Passo 6
Para resolver para
, vamos aplicar o logaritmo natural nos dois lados da equação:
Sabemos que
. Substituindo:
Multiplicando ambos os lados por -1:
Passo 7
Isolando
:
Como
, podemos simplificar ainda mais:
Sabemos que
, então:
Resposta
O instante em que a energia armazenada no capacitor será igual a 25% do seu valor inicial é aproximadamente
, ou seja: