Calcule o ângulo entre a e a+b, usando métodos vetoriais.

Passo 1

Beleza, o que a gente precisa aqui é calcular o ângulo entre o vetor a e o vetor a + b. Para isso, vamos usar métodos vetoriais, especificamente o produto escalar, que nos ajuda a encontrar o ângulo entre dois vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula do produto escalar que relaciona dois vetores e o ângulo entre eles. A fórmula é:
u cdot v = ||u|| times ||v|| times cos(theta)
Aqui, u cdot v é o produto escalar dos vetores, ||u|| e ||v|| são os módulos (ou magnitudes) dos vetores, e theta é o ângulo entre eles.

Passo 3

No nosso caso, os vetores são a e a + b. Vamos aplicar a fórmula:
a cdot (a + b) = ||a|| times ||a + b|| times cos(theta)

Passo 4

Vamos calcular o produto escalar a cdot (a + b). Aplicando a distributiva do produto escalar:
a cdot a + a cdot b = ||a|| times ||a + b|| times cos(theta)
Sabemos que a cdot a = ||a||^2, então:
||a||^2 + a cdot b = ||a|| times ||a + b|| times cos(theta)

Passo 5

Agora, vamos isolar cos(theta):
cos(theta) = ||a||^2 + a cdot b||a|| times ||a + b||

Passo 6

Para encontrar o ângulo theta, aplicamos a função arco cosseno:
theta = arccos( ||a||^2 + a cdot b||a|| times ||a + b|| )

Resposta

O ângulo entre a e a + b é dado por:
theta = arccos( ||a||^2 + a cdot b||a|| times ||a + b|| )

Exercícios relacionados