1. No circuito da Figura 6, \varepsilon=1,2 \mathrm{kV}, C=6,5 \mu \mathrm{~F}, R_{1}=R_{2}=R_{3}=0,73 \mathrm{M} \Omega. Com completamente descarregado, a chave S é subitamente fechada (\mathrm{t}=0).
c) Quais são os valores numéricos de V_{2} em \mathrm{t}=0 e \mathrm{t}=\infty.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede. Peguei estes valores da imagem fornecida.
  • Dados numéricos:
    • \varepsilon = 1{,}2\\ \mathrm{kV}.
    • C = 6{,}5\\ \mu\mathrm{F}.
    • R_{1}=R_{2}=R_{3}=0{,}73\\ \mathrm{M}\Omega.
    • O capacitor está completamente descarregado antes de fechar a chave.
    • A chave S é fechada subitamente em t=0.
  • O que o enunciado pede (parte c):
    • Quais são os valores numéricos de V_{2} em t=0 e em t=\infty.

Passo 2

Entendimento físico importante (regra prática que sempre salva na prova):
  • Para t=0^+ (imediatamente após fechar a chave), o capacitor inicialmente descarregado comporta-se como um curto-circuito (porque a tensão no capacitor não pode mudar instantaneamente). Então a ramificação que tem R_{3} em série com C fica, no instante t=0^+, equivalente a simplesmente R_{3} (o capacitor curto para o terra).
  • Para t\to\infty (regime estacionário depois de muito tempo), o capacitor está completamente carregado e não passa corrente contínua: ele se comporta como um circuito aberto. Assim a ramificação R_{3}- C fica aberta e nenhuma corrente passa por R_{3}.
Essas duas propriedades (capacitor como curto em t=0 e como circuito aberto em t=\infty) são a chave para calcular V_{2} nesses instantes.

Passo 3

Cálculo de V_{2}(0). No instante t=0^+ a rede vista a partir do nó V_{2} tem duas resistências para o terra em paralelo: R_{2} e R_{3} (porque o capacitor é curto). A resistência equivalente dessas duas em paralelo é dada por
R_{\text{par}}=\frac{R_{2}R_{3}}{R_{2}+R_{3}}.
Como R_{2}=R_{3}=R (com R=0{,}73\\ \mathrm{M}\Omega), temos
R_{\text{par}}=\frac{R\cdot R}{R+R}=\frac{R^{2}}{2R}=\frac{R}{2}.

Passo 4

Agora usamos um divisor de tensão formado por R_{1} em série com R_{\text{par}}. A tensão no nó (que é V_{2}) no instante t=0^+ vale
V_{2}(0)=\varepsilon\cdot\frac{R_{\text{par}}}{R_{1}+R_{\text{par}}}.
Substituindo R_{\text{par}}=R/2 e R_{1}=R:
V_{2}(0)=\varepsilon\cdot\frac{\tfrac{R}{2}}{R+\tfrac{R}{2}} =\varepsilon\cdot\frac{\tfrac{1}{2}}{1+\tfrac{1}{2}} =\varepsilon\cdot\frac{1}{3}.
Substituindo \varepsilon=1{,}2\\ \mathrm{kV}=1200\\ \mathrm{V}:
V_{2}(0)=\frac{1200}{3}=400\\ \mathrm{V}.

Passo 5

Cálculo de V_{2}(\infty). Em regime permanente o capacitor é circuito aberto, então a ramificação com R_{3} não conduz corrente e pode ser desprezada: a única resistência para o terra a partir do nó é R_{2}. Assim o divisor de tensão é R_{1} em série com R_{2}, e
V_{2}(\infty)=\varepsilon\cdot\frac{R_{2}}{R_{1}+R_{2}}.
Como R_{1}=R_{2}=R,
V_{2}(\infty)=\varepsilon\cdot\frac{R}{R+R}=\varepsilon\cdot\frac{1}{2}.
Substituindo \varepsilon=1200\\ \mathrm{V}:
V_{2}(\infty)=\frac{1200}{2}=600\\ \mathrm{V}.

Passo 6

Pequena checagem rápida: faz sentido físico — inicialmente, parte da corrente vai tanto por R_{2} quanto por R_{3} (porque C é curto), portanto V_{2}(0) é menor que a metade da fonte; depois de carregar, toda a queda está entre R_{1} e R_{2}, dando exatamente metade da fonte porque R_{1}=R_{2}. Resultado coerente.

Resposta

V_{2}(0)=400\\ \mathrm{V}
V_{2}(\infty)=600\\ \mathrm{V}

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