1. Um resistor com resistência de 10 \mathrm{M} \Omega é conectado em série com um capacitor cuja capacitância é de 1,0 \mu \mathrm{~F} e com uma bateria de fem igual a 12,0 \mathrm{~V}. Antes da chave ser fechada, no instante \mathrm{t}=0, o capacitor está descarregado.
a) Qual é a constante de tempo?

Passo 1

O enunciado nos dá os seguintes dados:
  • Resistência do resistor: R = 10\\ \mathrm{M}\Omega.
  • Capacitância do capacitor: C = 1{,}0\\ \mu\mathrm{F}.
  • Fonte: fem de 12{,}0\\ \mathrm{V} (informação presente, mas não necessária para o item pedido).
  • Condição inicial: no instante t=0 o capacitor está descarregado.
A pergunta (parte a) é: qual é a constante de tempo do circuito?

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (a ideia por trás, explicada passo a passo):
Quando um capacitor C está em série com um resistor R e são ligados a uma fonte, a carga e a tensão no capacitor aumentam seguindo uma lei exponencial. A equação diferencial básica do circuito (lei de Kirchhoff + relação corrente-capacitor) é:
V - R\,i(t) - v_C(t) = 0,
onde i(t) é a corrente e v_C(t) é a tensão no capacitor. Como i(t)=C\frac{dv_C}{dt}, substituindo obtemos
V - R\,C\frac{dv_C}{dt} - v_C(t)=0.
Reorganizando:
\frac{dv_C}{dt} = \frac{1}{RC}\bigl(V - v_C(t)\bigr).
Essa é uma equação diferencial linear do 1.º grau cuja solução para o carregamento é
v_C(t)=V\bigl(1-e^{-t/(RC)}\bigr).
O tempo característico que aparece no expoente é
\tau = R C,
chamado constante de tempo. Interpretação física curta: após um intervalo de tempo igual a \tau, a tensão no capacitor atinge cerca de 1-e^{-1}\approx0{,}632 (ou 63{,}2\%) do valor final V. Depois de 5\tau já se considera praticamente totalmente carregado ( \sim99{,}3\%).

Passo 3

Converter as unidades dadas para unidades do SI (ohm e farad):
  • 1\\ \mathrm{M}\Omega = 10^{6}\\ \Omega, logo
R = 10\\ \mathrm{M}\Omega = 10\times10^{6}\\ \Omega = 10^{7}\\ \Omega.
  • 1\\ \mu\mathrm{F} = 10^{-6}\\ \mathrm{F}, logo
C = 1{,}0\\ \mu\mathrm{F} = 1{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{F}.

Passo 4

Calcular a constante de tempo usando \tau = R C:
\tau = R\,C = 10^{7}\\ \Omega \times 1{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{F}.
Fazendo a multiplicação em notação científica:
\tau = 10^{7}\times1{,}0\times10^{-6} = 1{,}0\times10^{1} = 10.
Portanto,
\tau = 10\\ \mathrm{s}.

Passo 5

Interpretação rápida para você usar na prova: a constante de tempo é \tau=10\\ \mathrm{s}. Isso significa que, no processo de carregamento, após 10\\ \mathrm{s} a tensão no capacitor terá alcançado cerca de 63{,}2\% da tensão da fonte. Por exemplo, com V=12{,}0\\ \mathrm{V}, em t=\tau a tensão no capacitor será aproximadamente 0{,}632\times12{,}0\\ \mathrm{V}\approx7{,}58\\ \mathrm{V}. Depois de 5\tau=50\\ \mathrm{s} o capacitor estará praticamente carregado.
Força aí — você já consegue aplicar essa ideia direto na prova: converte unidades, usa \tau=RC e calcula.

Resposta

10\\ \mathrm{s}

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