Para o circuito de uma fonte de tensão em paralelo com duas impedâncias, determine a total: potência ativa, potência reativa, potência aparente e fator de potência. Considere: \mathrm{Z1}= 25 \angle 60^{\circ}, \mathrm{Z2}=20 \angle 30^{\circ} . \mathrm{V}=100 \mathrm{~V}.

Passo 1

O enunciado pede que se determine, para a associação em paralelo de duas impedâncias ligada a uma fonte de tensão, os seguintes itens: potência ativa, potência reativa, potência aparente e fator de potência.
As informações dadas são:
  • \mathrm{Z1}=25\angle 60^\circ\\ \Omega.
  • \mathrm{Z2}=20\angle 30^\circ\\ \Omega.
  • \mathrm{V}=100\\ \mathrm{V} (pressupõe-se tensão eficaz RMS).
O que precisamos calcular (lista clara):
  • potência ativa total P (em W),
  • potência reativa total Q (em var),
  • potência aparente total |S| (em VA),
  • fator de potência \mathrm{pf} e se é adiantado/atrasado (leading/lagging).

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vou usar (explicando cada símbolo):
  • Admitância de uma impedância: \displaystyle Y=\frac{1}{Z}. Aqui Z é a impedância (em \Omega) e Y é a admitância (em siemens, S).
  • Corrente total numa associação paralela: somam-se as correntes; escrevendo em termos de admitância, \displaystyle I_{\text{tot}} = V\,(Y_1+Y_2).
  • Potência complexa aparente: \displaystyle S = V\,I_{\text{tot}}^{*}, onde {}^{*} é conjugado complexo; S=P+jQ. Explicando: V é a tensão eficaz (complexa), I_{\text{tot}} é a corrente eficaz; multiplicar por conjugado dá a potência complexa com P=\Re(S) e Q=\Im(S).
  • Potência aparente (módulo): \displaystyle |S|=\sqrt{P^2+Q^2}.
  • Fator de potência: \displaystyle \mathrm{pf}=\frac{P}{|S|}=\cos\varphi, onde \varphi é o ângulo da potência complexa. Se Q>0 diz-se que o fator é de atraso (lagging, indutivo); se Q<0, adiantado (leading, capacitivo).
Vou trabalhar usando forma polar e retangular conforme convier, sempre mostrando a conversão.

Passo 3

Calcular as admitâncias Y_1 e Y_2 a partir de Z_1 e Z_2.
Primeiro:
Y_1=\frac{1}{Z_1}=\frac{1}{25\angle 60^\circ}=0,04\angle -60^\circ\\ \mathrm{S}.
Explicando: inverter um número em forma polar inverte o módulo e troca o sinal do ângulo.
Converter Y_1 para forma retangular (usar \cos e \sin):
Y_1=0,04(\cos(-60^\circ)+j\sin(-60^\circ))=0,04\bigl(0,5 - j0,8660254\bigr)=0,02 - j0,0346410\\ \mathrm{S}.
Agora Y_2:
Y_2=\frac{1}{Z_2}=\frac{1}{20\angle 30^\circ}=0,05\angle -30^\circ\\ \mathrm{S}.
Em retangular:
Y_2=0,05(\cos(-30^\circ)+j\sin(-30^\circ))=0,05\bigl(0,8660254 - j0,5\bigr)=0,0433013 - j0,0250000\\ \mathrm{S}.

Passo 4

Somar as admitâncias para obter a admitância total Y_{\text{tot}} (parte essencial para corrente total em paralelo):
Y_{\text{tot}}=Y_1+Y_2=(0,02+0,0433013)+j(-0,0346410-0,0250000).
Fazendo as somas:
Y_{\text{tot}}=0,0633013 - j0,0596410\\ \mathrm{S}.
Explicando: somam-se partes reais e imaginárias separadamente (como vetores no plano complexo).

Passo 5

Calcular a corrente total a partir de I_{\text{tot}}=V\,Y_{\text{tot}}. Aqui V é real 100\\ \mathrm{V}, então multiplica-se cada componente por 100:
I_{\text{tot}}=100\,(0,0633013 - j0,0596410)=6,33013 - j5,96410\\ \mathrm{A}.
Comentário didático: esta é a corrente resultante (eficaz) que sai da fonte, em forma complexa — a parte real é componente em fase com V, a imaginária é quadratura.

Passo 6

Calcular a potência complexa total S usando S=V\,I_{\text{tot}}^{*}. O conjugado de I_{\text{tot}}=6,33013 - j5,96410 é I_{\text{tot}}^{*}=6,33013 + j5,96410. Assim:
S=100\,(6,33013 + j5,96410)=633,0127 + j596,4100\\ \mathrm{VA}.
Logo:
  • potência ativa (real): \displaystyle P=\Re(S)=633,0127\\ \mathrm{W}.
  • potência reativa: \displaystyle Q=\Im(S)=596,4100\\ \mathrm{var}.
Explicando: o sinal positivo de Q indica comportamento indutivo (corrente em atraso em relação à tensão), portanto fator de potência será de atraso (lagging).

Passo 7

Calcular a potência aparente (módulo de S) e o fator de potência:
|S|=\sqrt{P^2+Q^2}=\sqrt{(633,0127)^2+(596,4100)^2}\approx 869,72\\ \mathrm{VA}.
Cálculo do fator de potência:
\mathrm{pf}=\frac{P}{|S|}=\frac{633,0127}{869,72}\approx 0,7279.
Também é útil o ângulo da potência:
\varphi=\arctan\!\left(\frac{Q}{P}\right)=\arctan\!\left(\frac{596,4100}{633,0127}\right)\approx 43,5^\circ,
e, como Q>0, o fator é de atraso (lagging).

Passo 8

Arredondamentos finais e interpretação curta (para memorizar na prova):
  • P arredondado a duas casas: 633,01\\ \mathrm{W}.
  • Q arredondado a duas casas: 596,41\\ \mathrm{var}.
  • |S| arredondado a duas casas: 869,72\\ \mathrm{VA}.
  • \mathrm{pf} arredondado a três casas: 0,728 (atraso / lagging).
Dica prática: trabalhar com admitâncias facilita quando elementos estão em paralelo; potência complexa é facilmente obtida por S=V I^{*}. Sempre convertendo polar↔rectangular com \cos e \sin.

Resposta

Potência ativa: 633,01\\ \mathrm{W}
Potência reativa: 596,41\\ \mathrm{var}
Potência aparente: 869,72\\ \mathrm{VA}
Fator de potência: 0,728 (atraso, lagging)

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