\mathbf{2}^{\text {a }} Questão ((TE-20min -2,0pts)): O transistor está polarizado tendo um \beta=100 e |VA| =100 \mathrm{~V}.
a) determine as tensões e correntes \operatorname{CC}(0,5);
b) determine o valor de todos os parâmetros de pequenos sinais do transistor (0,5);
c) desenhe o modelo Beta Re do transistor e desenhe o circuito equivalente para pequenos sinais para tal sistema (0,5);
d) calcule o ganho de tensão para este sistema ( \mathrm{Vo} / \mathrm{Vs} ) (0,5);
r o=|V a| / I c \quad r e=V t / I e

Passo 1

O que o enunciado nos dá (o que está explícito):
  • O transistor tem ganho de corrente estático \beta = 100.
  • A constante de Early em módulo é |V_A| = 100\\ \mathrm{V}.
  • O enunciado fornece as fórmulas a usar: r_o = \frac{|V_A|}{I_C},\qquad r_e = \frac{V_T}{I_E}.
  • Pedidos (quatro itens):
    (a) determinar as tensões e correntes em CC;
    (b) determinar todos os parâmetros de pequenos sinais do transistor;
    (c) desenhar o modelo Beta–Re e o circuito equivalente de pequenos sinais;
    (d) calcular o ganho de tensão do sistema V_O/V_S.
Informações que NÃO estão no enunciado fornecido:
  • Não há diagrama do circuito (resistores de polarização, V_{CC}, resistores em coletor e emissor, resistência de fonte R_S, carga R_L, se há capacitor de bypass no emissor, etc.).
  • Não há valores de correntes (por exemplo I_C) nem de resistores ou tensões de alimentação.
Conclusão óbvia nesta etapa: com o enunciado enviado, não é possível obter números concretos (valores numéricos de tensões e correntes) porque faltam os dados do circuito. A partir daqui vou:
  • Explicar passo a passo como se resolve cada item quando o circuito estiver completo;
  • Dar todas as fórmulas e um desenvolvimento que você poderá aplicar na prova assim que tiver os valores do circuito.

Passo 2

O procedimento geral para o item (a) — análise CC (polarização):
  1. Identificar no circuito as fontes de tensão V_{CC}, os resistores de polarização da base (por exemplo R_1,R_2 formando um divisor), o resistor de coletor R_C e o resistor de emissor R_E (se houver), e quaisquer cargas.
  2. Substituir os capacitores de acoplamento por circuitos abertos (eles bloqueiam CC).
  3. Fazer a análise por malhas/nós para encontrar as tensões de polarização: normalmente busca-se a tensão na base V_B, então assume-se \,V_{BE}\approx 0{,}7\\ \mathrm{V} (silício) para obter a tensão no emissor V_E = V_B - V_{BE} e a corrente do emissor I_E = V_E/R_E (se R_E existir). Se o emissor não tiver resistor, usa-se as equações para I_B a partir do divisor de base e da base-emissor.
  4. A partir de I_E calcula-se I_C \approx \frac{\beta}{\beta+1}I_E \approx \beta I_B,ou se se obtém I_B diretamente: I_C = \beta I_B,\qquad I_E = I_C + I_B = (\beta+1)I_B.
  5. Calcular tensões nos nós do coletor e emissor com as quedas de tensão nos resistores ( V_C = V_{CC} - I_C R_C, etc.). Essas são as tensões CC pedidas.
Observações didáticas:
  • Em prova, ao assumir \,V_{BE}\approx0{,}7\\ \mathrm{V} escreva isso explicitamente e justifique (silício, polarização direta). Se o enunciado pedir precisão maior ou der curva, usar o valor indicado.
  • Se houver divisor de base (R_1,R_2), substitua por sua fonte de Thévenin para simplificar: V_{TH} = V_{CC}\dfrac{R_2}{R_1+R_2} e R_{TH} = R_1||R_2. Então aplique KCL/KVL na malha base-emissor.

Passo 3

Como obter os parâmetros de pequenos sinais (item b) — fórmulas e significado:
  • Tensão térmica V_T: típica para 25 ºC é \,V_T\approx 25\\ \mathrm{mV} (algumas provas usam 26\\ \mathrm{mV}; use o valor pedido ou mencione o adotado).
  • Transcondutância \,g_m: mede a variação da corrente de coletor por variação da tensão base-emissor. Fórmula (em regime linear pequeno-sinal): g_m = \frac{I_C}{V_T}.Aqui I_C é a corrente de polarização CC que você calculou no passo anterior. Explicação: para um transistor BJT em ponto de operação, pequena variação \Delta v_{be} gera \Delta i_c \approx (I_C/V_T)\Delta v_{be}.
  • Resistência de entrada base (modelo híbrido- \pi) r_\pi: r_\pi = \frac{\beta}{g_m} = \frac{\beta V_T}{I_C}.Significado: resistência entre base e emissor vista pelo sinal de pequena amplitude.
  • Resistência de saída r_o (dada pelo enunciado): r_o = \frac{|V_A|}{I_C}.Significado: modela o efeito da dependência de I_C na tensão coletor-emissor (Early).
  • Resistência intrínseca de emissor r_e (dada pelo enunciado): r_e = \frac{V_T}{I_E}.Observação sobre relações entre r_e e r_\pi: usando I_E\approx I_C(1+1/\beta) obtém-se r_\pi = (\beta+1)\, r_e \quad (\text{exatamente: } r_\pi = \beta\frac{V_T}{I_C} = (\beta+1)\frac{V_T}{I_E}).Em muitas aproximações usa-se r_\pi\approx \beta r_e quando \beta é grande, mas a expressão exata com I_E é a acima.
No exame: assim que tiver I_C e I_E numéricos, calcule:
g_m,\qquad r_\pi,\qquad r_o,\qquad r_e,
com as fórmulas acima — e escreva os valores com unidades (S para g_m ou \Omega para as resistências).

Passo 4

Desenho e interpretação do modelo Beta–Re e do circuito equivalente de pequenos sinais (item c)
  • Modelo Beta–Re (descrição textual para você desenhar na prova):
    • Entre base e emissor: um resistor r_\pi.
    • Entre coletor e emissor: uma fonte de corrente controlada cujo valor é g_m v_\pi (ou alternativamente \beta i_b), orientada do coletor para o emissor (conforme a convenção do circuito).
    • Entre coletor e emissor também está r_o (em paralelo com a fonte controlada) para modelar o efeito Early.
    • Eventualmente colocar r_e explicitamente no emissor se preferir modelagem em série com r_e; note que r_e = V_T/I_E é o mesmo efeito do lado do emissor (há duas formas de modelar: híbrido- \pi com r_\pi e g_m, ou modelo “r_e+beta” — use o que o professor pedir).
  • Circuito equivalente para pequenos sinais (como montar):
    1. Substituir capacitores de acoplamento por curtos (para analisarmos resposta em baixa frequência se os capacitores são grandes).
    2. Fontes DC (como V_{CC}) vão para terra no circuito de pequenos sinais (fonte de tensão DC é curto).
    3. Colocar a fonte de sinal v_s com sua resistência série R_S na entrada; a base vê r_\pi e o resto do circuito.
    4. No coletor aparece R_C em paralelo com qualquer carga R_L e com r_o; do coletor sai a corrente controlada g_m v_\pi para o nó do emissor.
    5. Emissor pode ter R_E em série com o emissor real; se R_E estiver bypassado por um capacitor (no sinal), então no pequeno-sinal R_E é curto; se não, permanece e introduz degeneração de emissor.
Dica prática para desenhar rápido: desenhe o transistor substituído por:
  • base —[r_pi]—> emissor
  • entre coletor e emissor: r_o // fonte controlada g_m v_\pi
  • ligue os resistores R_C, R_E, R_S conforme o esquema original (DC fontes ao terra).

Passo 5

Cálculo do ganho de tensão V_O/V_S (item d): derivação genérica e fórmula que você pode aplicar
Vamos derivar uma expressão compacta para o caso usual: fonte v_s com resistência série R_S ligada à base; há um resistor de emissor R_E não-bypassado; resistor de coletor R_C; eventualmente existe uma carga R_L no coletor. Também consideramos r_o. Definimos
R_C' = R_C \parallel r_o \parallel R_L
como a resistência efetiva no coletor vista pelo sinal.
Passos de derivação (fáceis de seguir na prova):
  1. Do modelo híbrido- \pi, a corrente de controle é i_c = g_m v_\pi (sinal entre base e emissor).
  2. A saída no coletor (com sinal negativo para CE) é v_o = -\,i_c\,R_C' = -\,g_m v_\pi\,R_C'.(o sinal menos porque uma variação positiva em v_\pi aumenta i_c, que aumenta a queda em R_C', reduzindo v_o).
  3. Precisamos relacionar v_\pi com v_s. Olhando para a entrada: há R_S em série com a resistência de entrada no nodo da base. A resistência de entrada da etapa vista pela fonte é (aproximação padrão): R_{in,b} \approx r_\pi + (\beta+1)R_E.(isto vem de escrever i_e=(\beta+1)i_b e observar que a resistência que aparece em série com r_\pi visto pela base é (\beta+1)R_E.)
  4. O divisor de tensão entre R_S e R_{in,b} dá a tensão no nó da base v_b, e então v_\pi é v_\pi \;=\; v_s\cdot\frac{r_\pi}{R_S + r_\pi + (\beta+1)R_E}.(derivação curta: v_b = v_s\cdot\frac{R_{in,b}}{R_S+R_{in,b}} e v_\pi = v_b\cdot\frac{r_\pi}{R_{in,b}}. Simplificam-se os termos.)
  5. Substituindo em v_o: \frac{v_o}{v_s} \;=\; -\,g_m R_C'\cdot\frac{r_\pi}{R_S + r_\pi + (\beta+1)R_E}.
  6. Usando a relação g_m r_\pi = \beta (exata porque r_\pi=\beta/g_m), simplificamos para: \boxed{\,\dfrac{V_O}{V_S} \;=\; -\,\dfrac{\beta\,R_C'}{\,R_S + r_\pi + (\beta+1)R_E\,}\,}onde R_C' = R_C\parallel r_o\parallel R_L, r_\pi = \dfrac{\beta V_T}{I_C}, g_m=\dfrac{I_C}{V_T} e r_o=\dfrac{|V_A|}{I_C}.
Comentários e interpretações:
  • Se o emissor for completamente bypassado (capacitor de bypass ideal em curto para sinal), então R_E=0 no pequeno-sinal e o ganho se aproxima de \frac{V_O}{V_S}\approx -\frac{\beta R_C'}{R_S + r_\pi}.e, se ainda R_S\ll r_\pi, então V_O/V_S\approx -g_m R_C' (a forma usual).
  • Se r_o é muito grande (ou |V_A| muito grande), r_o não influencia muito; senão, r_o reduz o ganho porque entra em paralelo com R_C.
  • Essa fórmula é direta de aplicar na prova: calcular I_C (Passo 2), depois r_\pi,g_m,r_o (Passo 3), depois avaliar R_C' e colocar na expressão acima.

Passo 6

Exemplo de uso rápido (ilustrativo, sem ser pedido): se você encontrasse I_C=1\\ \mathrm{mA},
  • V_T=25\\ \mathrm{mV}\Rightarrow g_m = \dfrac{1\\ \mathrm{mA}}{25\\ \mathrm{mV}} = 0{,}04\\ \mathrm{S} = 40\\ \mathrm{mS}.
  • r_\pi = \dfrac{\beta}{g_m} = \dfrac{100}{0{,}04} = 2500\\ \Omega.
  • r_o = \dfrac{100\\ \mathrm{V}}{1\\ \mathrm{mA}} = 100\\ \mathrm{k}\Omega.
  • r_e = \dfrac{25\\ \mathrm{mV}}{I_E\approx1{,}01\\ \mathrm{mA}} \approx 24{,}75\\ \Omega.
Esses cálculos mostram como ir do ponto de operação numérico para os parâmetros pequenos sinais.

Resposta

(a) Impossível determinar numericamente — falta o esquema do circuito (resistores, fontes, conexões) e, portanto, falta \,I_C e demais correntes/tensões CC necessárias.
(b) Parâmetros de pequenos sinais em função de I_C e I_E:
g_m=\frac{I_C}{V_T},\qquad r_\pi=\frac{\beta}{g_m}=\frac{\beta V_T}{I_C},\qquad r_o=\frac{|V_A|}{I_C},\qquad r_e=\frac{V_T}{I_E}.
(c) Modelo Beta–Re (descrição sucinta): entre base e emissor um resistor r_\pi; entre coletor e emissor uma fonte de corrente controlada de valor g_m v_\pi (ou \beta i_b); entre coletor e emissor também r_o (paralelo). O circuito de pequenos sinais fecha com R_C, R_E, R_S e eventuais R_L conectados conforme o esquema original (as fontes DC vão para terra, capacitores de acoplamento são curto em AC).
(d) Ganho de tensão genérico (caso comum: fonte com R_S à base, emissor com R_E não-bypassado, coletor com R_C e carga R_L):
R_C' = R_C\parallel r_o\parallel R_L, \qquad \frac{V_O}{V_S} \;=\; -\,\frac{g_m\,r_\pi\,R_C'}{\,R_S + r_\pi + (\beta+1)R_E\,} \;=\; -\,\frac{\beta\,R_C'}{\,R_S + r_\pi + (\beta+1)R_E\,}.
(Numericamente não se pode avaliar sem os valores do circuito; aplique essa fórmula após calcular I_C, r_\pi, g_m, r_o.)

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