4) Circuito RLC

  • Num circuito RLC em série, \mathrm{R}=200 \mathrm{~W}, \mathrm{C}=1,5 \mathrm{mF}, \mathrm{L}=230 \mathrm{mH}, \mathrm{f}=60 \mathrm{~Hz} e \mathcal{E}_{m}=36 \mathrm{~V}.
    a) Determine a impedância do circuito.
    b) Determine a amplitude e a fase da corrente.
    c) Calcule o fator de potência.
    d) determine a potência média dissipada.

Passo 1

O enunciado dá um circuito RLC em série com os seguintes dados:
R=200\\ \Omega,\quad C=1{,}5\\ \text{mF}=1{,}5\times10^{-3}\\ \text{F},\quad L=230\\ \text{mH}=230\times10^{-3}\\ \text{H},
f=60\\ \text{Hz},\quad \mathcal{E}_m=36\\ \text{V}.
As perguntas são:
a) determinar a impedância do circuito;
b) determinar a amplitude e a fase da corrente;
c) calcular o fator de potência;
d) determinar a potência média dissipada.
Vou usar as fórmulas usuais de circuitos em regime senoidal estacionário (phasors). Vou explicar cada fórmula e cada passo do cálculo.

Passo 2

Primeiro calculemos a pulsação (frequência angular) \omega. A fórmula é
\omega = 2\pi f,
onde \omega tem unidade rad/s e f está em Hz. Substituindo:
\omega = 2\pi\cdot 60.
Numericamente \omega\approx 376{,}9911\\ \text{rad/s}.

Passo 3

Agora calculamos as reatâncias do indutor e do capacitor. Conceito rápido: a reatância é a “resistência” ôhmica efetiva dos elementos reativos para sinais senoidais, e depende de \omega.
Reatância indutiva:
X_L = \omega L,
onde L é em henry e X_L em ohms. Substituindo:
X_L = 376{,}9911\cdot 0{,}23 \approx 86{,}808\\ \Omega.
Reatância capacitiva:
X_C = \frac{1}{\omega C},
onde C é em farad. Substituindo:
X_C = \frac{1}{376{,}9911\cdot 1{,}5\times10^{-3}} \approx 1{,}7684\\ \Omega.

Passo 4

No circuito série a reatância total (efetiva) é a diferença entre reatância indutiva e capacitiva:
X = X_L - X_C.
Substituindo os valores obtidos:
X \approx 86{,}808 - 1{,}7684 \approx 85{,}0396\\ \Omega.
A impedância complexa do circuito é
Z = R + \mathrm{j}X,
onde \mathrm{j} é a unidade imaginária (em eletrônica usa-se \mathrm{j} em vez de i). Assim
Z \approx 200 + \mathrm{j}\,85{,}0396\\ \Omega.

Passo 5

Para obter a magnitude da impedância usamos a fórmula do módulo de um número complexo:
|Z| = \sqrt{R^2 + X^2}.
Substituindo:
|Z| = \sqrt{200^2 + 85{,}0396^2} \approx \sqrt{40000 + 7231{,}73} \approx \sqrt{47231{,}73} \approx 217{,}37\\ \Omega.

Passo 6

A fase (ângulo de fase) da impedância, que mostra quanto a tensão no circuito está adiantada em relação à corrente, é
\varphi = \arctan\!\left(\frac{X}{R}\right).
Substituindo:
\varphi = \arctan\!\left(\frac{85{,}0396}{200}\right) \approx \arctan(0{,}425198) \approx 0^\circ 23{,}06^\prime\!\text{(ou)}\\\ 23{,}06^\circ.
Interpretação: a tensão total do circuito está adiantada em \varphi em relação à corrente porque X>0 (predomínio indutivo). Portanto a corrente está defasada em relação à tensão por -\varphi (a corrente atrasa em \varphi).

Passo 7

Agora encontramos a amplitude (valor de pico) da corrente. Em regime senoidal:
I_m = \frac{\mathcal{E}_m}{|Z|},
onde \mathcal{E}_m é a amplitude da tensão aplicada. Substituindo:
I_m = \frac{36}{217{,}37} \approx 0{,}16557\\ \text{A}.
A fase da corrente (no formato fasor) relativa à tensão de fonte \mathcal{E} é
I = I_m \angle (-\varphi),
ou seja a corrente tem amplitude \approx 0{,}16557\\ \text{A} e defasagem -23{,}06^\circ (a corrente atrasa 23{,}06^\circ em relação à tensão).

Passo 8

O fator de potência (power factor) é o cosseno do ângulo de fase entre tensão e corrente:
\text{pf} = \cos(\varphi).
Substituindo \varphi\approx 23{,}06^\circ:
\text{pf} \approx \cos(23{,}06^\circ) \approx 0{,}9208.
Interpretação: pf próximo de 1 significa que a maioria da potência fornecida é potência ativa (dissipada no resistor).

Passo 9

Para calcular a potência média (potência ativa) dissipada no circuito usamos a fórmula
P_{\text{média}} = I_{\text{rms}}^2 R,é
pois apenas o resistor dissipa potência média. Recordando que I_{\text{rms}} = I_m/\sqrt{2}, temos:
I_{\text{rms}} = \frac{0{,}16557}{\sqrt{2}} \approx 0{,}11710\\ \text{A}.
Logo
P_{\text{média}} = (0{,}11710)^2\cdot 200 \approx 0{,}01371\cdot 200 \approx 2{,}7426\\ \text{W}.é
Verificação alternativa (mesmo resultado): P_{\text{média}} = V_{\text{rms}} I_{\text{rms}} \cos\varphié com V_{\text{rms}}=\mathcal{E}_m/\sqrt{2} dá o mesmo valor numérico.

Resposta

a) \;Z \approx 200 + \mathrm{j}\,85{,}04\\ \Omega,\quad |Z|\approx 217{,}37\\ \Omega.
b) \;I_m\approx 0{,}16557\\ \mathrm{A},\quad fase da corrente em relação à tensão \; -23{,}06^\circ.
c) \;\text{fator de potência}\approx 0{,}9208.ê
d) \;P_{\text{média}}\approx 2{,}7426\\ \mathrm{W}.é

Exercícios relacionados