1. Circuito LC
  • Um capacitor carregado e um indutor são ligados em série no instante t=0. Determine, em termos do período T das oscilações resultantes, o tempo t > 0 necessário para que as seguintes grandezas atinjam o valor máximo:
    (d) a corrente no circuito.

Passo 1

O que o enunciado pede: determinar, em termos do período T das oscilações, o tempo t>0 necessário para que a corrente no circuito LC atinja o seu valor máximo.
Informações dadas (e convenções usuais, consideradas válidas aqui):
  • Temos um circuito série com um indutor de indutância L e um capacitor de capacitância C.
  • O capacitor está carregado no instante t=0 e, ao ligar o circuito, iniciam-se oscilações. Isso implica que a carga inicial no capacitor é Q_0 (algum valor positivo) e normalmente a corrente inicial é i(0)=0 (porque antes de ligar o circuito o indutor não tinha corrente).
  • Definimos q(t) como a carga no capacitor em função do tempo e i(t) como a corrente no circuito. Temos a relação \;i(t)=\dfrac{dq}{dt}\;.
  • O período das oscilações é T. Queremos expressar o tempo pedido em função de T.

Passo 2

Montar a equação do movimento elétrico (equação diferencial) usando a lei das malhas (KVL) e as relações constitutivas:
  • A tensão no indutor é v_L=L\,\dfrac{di}{dt}.
  • A tensão no capacitor é v_C=\dfrac{q}{C}.
    Pela KVL no laço série temos
L\,\frac{di}{dt} + \frac{q}{C} = 0.
Substituindo i=\dfrac{dq}{dt} obtemos uma equação apenas em q(t):
L\,\frac{d^2 q}{dt^2} + \frac{q}{C} = 0.
Essa é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes — é a equação do oscilador harmônico.

Passo 3

Resolver a equação diferencial:
Dividindo por L e escrevendo em forma padrão,
\frac{d^2 q}{dt^2} + \frac{1}{LC}\,q = 0.
Essa equação tem solução geral da forma
q(t) = A\cos(\omega t) + B\sin(\omega t),
onde \omega é a frequência angular dada por
\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}.
Explicação do significado de \omega e T: \omega mede quantos radianos por segundo as oscilações fazem; o período (tempo para uma oscilação completa) é
T = \frac{2\pi}{\omega}.

Passo 4

Aplicar as condições iniciais para determinar A e B:
  • A condição de carga inicial é q(0)=Q_0. Substituindo t=0 na solução geral:
q(0)=A\cos(0)+B\sin(0)=A = Q_0.
Logo A=Q_0.
  • A condição de corrente inicial é i(0)=\dfrac{dq}{dt}\Big|_{t=0}=0. Calculando a derivada:
\frac{dq}{dt} = -A\omega\sin(\omega t) + B\omega\cos(\omega t).
Em t=0 isso dá \dfrac{dq}{dt}(0)=B\omega=0, logo B=0.
Portanto a solução particular para a carga é
q(t)=Q_0\cos(\omega t).

Passo 5

Obter a expressão da corrente i(t):
i(t)=\frac{dq}{dt} = -Q_0\omega\sin(\omega t).
Aqui Q_0 e \omega são constantes; a amplitude da corrente (valor máximo absoluto) é I_{\max}=Q_0\omega. A função \sin(\omega t) varia entre -1 e 1, então i(t) atinge seus extremos quando \sin(\omega t)=\pm 1.

Passo 6

Encontrar os instantes em que i(t) atinge máximo (positivo) ou mínimo (negativo):
  • Para que |i(t)| seja máximo precisamos de |\sin(\omega t)|=1.
  • Os pontos onde \sin(\theta)=\pm 1 ocorrem em \theta = \dfrac{\pi}{2} + k\pi, com k inteiro.
    Assim os instantes t que dão corrente máxima em módulo satisfazem
\omega t = \frac{\pi}{2} + k\pi.
O menor instante positivo (primeiro máximo em módulo) corresponde a k=0, isto é
t = \frac{\pi}{2\omega}.

Passo 7

Expressar o resultado em termos do período T:
  • Como vimos, T=\dfrac{2\pi}{\omega}, portanto \omega=\dfrac{2\pi}{T}.
    Substituindo em t=\dfrac{\pi}{2\omega} obtemos
t = \frac{\pi}{2}\cdot\frac{1}{\omega} = \frac{\pi}{2}\cdot\frac{T}{2\pi} = \frac{T}{4}.
Observação: os demais instantes em que a corrente atinge extremos em módulo são obtidos somando múltiplos de \dfrac{T}{2}, isto é t = \dfrac{T}{4} + k\frac{T}{2}.

Passo 8

Interpretação física (rápida e motivadora): o instante t=\dfrac{T}{4} é um quarto de período porque a energia inicialmente elétrica (no capacitor) passa para energia magnética no indutor; no momento de energia completamente magnética o capacitor está momentaneamente descarregado ( q=0) e a corrente é máxima. Então faz sentido físico: corrente máxima quando a carga do capacitor passa por zero.

Resposta

t=\dfrac{T}{4}

Exercícios relacionados