1. Circuito LC
  • Um capacitor carregado e um indutor são ligados em série no instante t=0. Determine, em termos do período T das oscilações resultantes, o tempo t > 0 necessário para que as seguintes grandezas atinjam o valor máximo:
    (c) a energia armazenada no campo elétrico;

Passo 1

O enunciado diz: num circuito LC, um capacitor carregado e um indutor são ligados em série no instante t=0. Foi pedido, em termos do período T das oscilações resultantes, o tempo t>0 necessário para que a energia armazenada no campo elétrico (ou seja, a energia no capacitor) atinja o valor máximo.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • O circuito é ideal (LC), sem perdas, então energia total é conservada.
  • No instante inicial t=0 o capacitor está carregado; isso implica que a carga inicial no capacitor é máxima e a corrente inicial é nula.
  • É dado o período das oscilações T (portanto podemos usar \omega=2\pi/T quando for necessário).
    A partir daqui vamos resolver passo a passo.

Passo 2

Modelagem dinâmica básica (equação do circuito). Vou chamar de q(t) a carga no capacitor em função do tempo, C a capacitância e L a indutância. A corrente é a derivada da carga:
I(t)=\dot q(t).
Pelo fechamento do circuito (Lei das malhas / segunda lei de Kirchhoff) a soma das quedas é zero; para o circuito LC ideal isso dá a equação diferencial
L\ddot q(t) + \frac{1}{C}q(t)=0.
Aqui \ddot q é a segunda derivada de q em relação ao tempo.

Passo 3

Solução da equação diferencial e condições iniciais. A equação
L\ddot q + \frac{1}{C}q=0
é a equação do oscilador harmônico simples. Definindo \omega=\dfrac{1}{\sqrt{LC}} (frequência angular), a solução geral é
q(t)=A\cos(\omega t)+B\sin(\omega t).
As condições iniciais são: no instante t=0 a carga no capacitor é a máxima q(0)=Q (já que o capacitor estava carregado) e a corrente inicial é nula I(0)=\dot q(0)=0. Aplicando essas condições obtemos A=Q e B=0, portanto
q(t)=Q\cos(\omega t).

Passo 4

Relação entre \omega e o período T. Pelo enunciado temos o período das oscilações T. A relação padrão entre frequência angular e período é
\omega=\frac{2\pi}{T}.
Também vale a relação usual \omega=\dfrac{1}{\sqrt{LC}}, mas como nos pediram resposta em termos de T usaremos \omega=2\pi/T.

Passo 5

Expressão da energia elétrica no capacitor. A energia armazenada no campo elétrico do capacitor (energia elétrica no capacitor) é
U_C(t)=\frac{q(t)^2}{2C}.
Substituindo q(t)=Q\cos(\omega t) temos
U_C(t)=\frac{Q^2}{2C}\cos^2(\omega t).
Portanto U_C(t) é proporcional a \cos^2(\omega t).

Passo 6

Quando U_C(t) é máxima? A função \cos^2(\omega t) atinge seu valor máximo igual a 1 sempre que \cos(\omega t)=\pm 1. Isso ocorre quando
\omega t = n\pi,\quad n\in\mathbb{Z}.
Assim os instantes em que U_C é máximo são
t_n=\frac{n\pi}{\omega}.
Usando \omega=2\pi/T isso se escreve
t_n = \frac{n\pi}{2\pi/T} = \frac{nT}{2}.

Passo 7

Escolhendo o menor tempo positivo. O enunciado pede um t>0 necessário para que a energia atinja o máximo. Os instantes são t_n=nT/2. Para n=0 temos t=0 (o máximo inicial). O menor instante positivo corresponde a n=1, portanto
t=\frac{T}{2}.

Resposta

\displaystyle t=\frac{T}{2}

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