- Circuito LC
- Um capacitor carregado e um indutor são ligados em série no instante
. Determine, em termos do período
das oscilações resultantes, o tempo t > 0 necessário para que as seguintes grandezas atinjam o valor máximo:
(c) a energia armazenada no campo elétrico;
(c) a energia armazenada no campo elétrico;
Passo 1
O enunciado diz: num circuito LC, um capacitor carregado e um indutor são ligados em série no instante
. Foi pedido, em termos do período
das oscilações resultantes, o tempo
necessário para que a energia armazenada no campo elétrico (ou seja, a energia no capacitor) atinja o valor máximo.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- O circuito é ideal (LC), sem perdas, então energia total é conservada.
- No instante inicial
o capacitor está carregado; isso implica que a carga inicial no capacitor é máxima e a corrente inicial é nula. - É dado o período das oscilações
(portanto podemos usar quando for necessário).
A partir daqui vamos resolver passo a passo.
Passo 2
Modelagem dinâmica básica (equação do circuito). Vou chamar de
a carga no capacitor em função do tempo,
a capacitância e
a indutância. A corrente é a derivada da carga:
Pelo fechamento do circuito (Lei das malhas / segunda lei de Kirchhoff) a soma das quedas é zero; para o circuito LC ideal isso dá a equação diferencial
Aqui
é a segunda derivada de
em relação ao tempo.
Passo 3
Solução da equação diferencial e condições iniciais. A equação
é a equação do oscilador harmônico simples. Definindo
(frequência angular), a solução geral é
As condições iniciais são: no instante
a carga no capacitor é a máxima
(já que o capacitor estava carregado) e a corrente inicial é nula
. Aplicando essas condições obtemos
e
, portanto
Passo 4
Relação entre
e o período
. Pelo enunciado temos o período das oscilações
. A relação padrão entre frequência angular e período é
Também vale a relação usual
, mas como nos pediram resposta em termos de
usaremos
.
Passo 5
Expressão da energia elétrica no capacitor. A energia armazenada no campo elétrico do capacitor (energia elétrica no capacitor) é
Substituindo
temos
Portanto
é proporcional a
.
Passo 6
Quando
é máxima? A função
atinge seu valor máximo igual a
sempre que
. Isso ocorre quando
Assim os instantes em que
é máximo são
Usando
isso se escreve
Passo 7
Escolhendo o menor tempo positivo. O enunciado pede um
necessário para que a energia atinja o máximo. Os instantes são
. Para
temos
(o máximo inicial). O menor instante positivo corresponde a
, portanto