Um circuito RLC em série com L=2 H, C=2 \mu F e R=20 \Omega é alimentado por um gerador com tensão máxima de V_{p p}=100 \mathrm{~V} e frequência variável. Determine: (a) A frequência de ressonância fo. (b) O fator de qualidade Q do circuito. (c) A largura de banda da curva de ressonância \Delta f. (d) A corrente máxima na ressonância.

Passo 1

A gente tem um circuito RLC em série com L=2\,\mathrm{H}, C=2\,\mu\mathrm{F}=2\times10^{-6}\,\mathrm{F} e R=20\,\Omega.
O gerador fornece tensão de pico a pico V_{pp}=100\,\mathrm{V}, ou seja, tensão de pico
V_p=\frac{V_{pp}}{2}=50\,\mathrm{V}.
No ponto de ressonância a reatância indutiva cancela a capacitiva X_L=X_C, a impedância é mínima e a corrente é máxima. Vamos usar as fórmulas clássicas:
– Frequência de ressonância
f_0=\frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}
– Fator de qualidade
Q=\frac{\omega_0L}{R}=\frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}}
– Largura de banda
\Delta f=\frac{f_0}{Q}=\frac{R}{2\pi L}
– Corrente de pico em ressonância
I_{max}=\frac{V_p}{R}.

Passo 2

Calcular f_0. Primeiro,
LC=2\cdot(2\times10^{-6})=4\times10^{-6}, \quad \sqrt{LC}=2\times10^{-3}.
Portanto
f_0=\frac{1}{2\pi\,(2\times10^{-3})} \approx\frac{1}{0,012566} \approx79,6\\ \mathrm{Hz}.

Passo 3

Calcular Q. Usando
\sqrt{\frac{L}{C}}=\sqrt{\frac{2}{2\times10^{-6}}} =\sqrt{1\times10^{6}}=1000,
temos
Q=\frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}} =\frac{1000}{20} =50.

Passo 4

Calcular \Delta f. Pode usar \Delta f=f_0/Q ou \Delta f=R/(2\pi L). Usando o primeiro:
\Delta f=\frac{79,6}{50} \approx1,59\\ \mathrm{Hz}.

Passo 5

Calcular I_{max} na ressonância. Como a impedância é puramente resistiva Z=R:
I_{max}=\frac{V_p}{R} =\frac{50}{20} =2,5\\ \mathrm{A}.

Resposta

(a) f_0\approx79{,}6\\ \mathrm{Hz}.
(b) Q=50.
(c) \Delta f\approx1{,}59\\ \mathrm{Hz}.
(d) I_{max}=2{,}5\\ \mathrm{A}.

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