Escreva as 4 equações de Maxwell no vácuo em termos de campo elétrico (\vec{E}), campo magnético (\vec{H}), permissividade \left(\varepsilon_{0}\right) e permeabilidade (\mu_{0}).

Passo 1

O enunciado pede para escrever as quatro equações de Maxwell no vácuo em termos do campo elétrico \vec{E}, do campo magnético \vec{H}, da permissividade do meio livre \varepsilon_{0}$ e da permeabilidade do meio livre \(\mu_{0}. Vamos usar cálculo vetorial (divergente e rotacional) e considerar que não há cargas livres nem correntes livres no vácuo.)

Passo 2

A primeira equação é a lei de Gauss para o campo elétrico, que relaciona a divergência de \vec{E} à densidade volumétrica de carga \rho. Como no vácuo \rho=0, ficamos com
\nabla\cdot\vec{E}=0.

Passo 3

A segunda equação é a lei de Gauss para o magnetismo, que afirma que não existem monopólos magnéticos. Isso implica que a divergência de \vec{H} também é nula:
\nabla\cdot\vec{H}=0.

Passo 4

A terceira equação é a lei de Faraday da indução, que relaciona o rotacional de \vec{E} à variação temporal do campo magnético \vec{B}. No vácuo \vec{B}=\mu_{0}\vec{H}, então
\nabla\times\vec{E}=-\frac{\partial\vec{B}}{\partial t} =-\mu_{0}\,\frac{\partial\vec{H}}{\partial t}.

Passo 5

A quarta é a lei de Ampère–Maxwell, que relaciona o rotacional de \vec{H} à densidade de corrente livre \vec{J} e à variação temporal de \vec{E}. Como no vácuo \vec{J}=0, fica
\nabla\times\vec{H} =\varepsilon_{0}\,\frac{\partial\vec{E}}{\partial t}.

Resposta

\begin{cases} \nabla\cdot\vec{E}=0,\\[6pt] \nabla\cdot\vec{H}=0,\\[6pt] \nabla\times\vec{E}=-\mu_{0}\,\dfrac{\partial\vec{H}}{\partial t},\\[6pt] \nabla\times\vec{H}=\varepsilon_{0}\,\dfrac{\partial\vec{E}}{\partial t}. \end{cases}]

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