QUESTÃO 05: Seja um cabo com 7 fios de cobre com 1 mm de raio cada. Pede-se:
a) Determine a resistividade do cobre à temperatura de 100^{\circ} \mathrm{C}. ( \mathbf{0 , 8 )}
b) Determine a resistência CA do cabo por quilômetro e a 100^{\circ} \mathrm{C}, para uma corrente elétrica de freqüência 500 \mathrm{kHz} .(\mathbf{1 , 2})
Dados do cobre: \rho_{C u, 20 \mathrm{C}}=1,7 \times 10^{-8} \Omega m ; \alpha_{C u, 20 \mathrm{C}}=3,9 \times 10^{-3}{ }^{\circ} \mathrm{C}^{-1} ; \mu_{r, C u}=1.

Passo 1

Temos um cabo com 7 fios de cobre, cada um com raio a=1 mm.
a) Precisamos achar a resistividade do cobre a 100^\circ C usando a lei
\rho_T = \rho_{20}\bigl[1+\alpha\,(T-20)\bigr].
b) Queremos a resistência AC por quilômetro a f=500 kHz e T=100^\circ C. Como a frequência é alta, usamos o efeito de pele, cujo parâmetro chave é a profundidade de penetração
\delta = \sqrt{\frac{2\,\rho}{\omega\,\mu_0\,\mu_r}},
e então estimamos a área efetiva de condução na casca de espessura \delta.

Passo 2

Calcular a resistividade a 100^\circ C:
\rho_{100} = \rho_{20}\bigl[1+\alpha\,(100-20)\bigr] = 1,7\times10^{-8}\bigl[1+3,9\times10^{-3}\times80\bigr].
Como
1 + 3,9\times10^{-3}\times80 = 1 + 0,312 = 1,312,
temos
\rho_{100} = 1,7\times10^{-8}\times1,312 \approx 2,23\times10^{-8}\\ \Omega\cdot m.

Passo 3

Angularmente, \omega = 2\pi f = 2\pi\cdot5\times10^5 \approx 3,14\times10^6 rad/s.
Com \mu_0 = 4\pi\times10^{-7} H/m e \mu_r=1,
\delta = \sqrt{\frac{2\,\rho_{100}}{\omega\,\mu_0}} = \sqrt{\frac{2\cdot2,23\times10^{-8}}{3,14\times10^6\cdot4\pi\times10^{-7}}} \approx 1,06\times10^{-4}\\ \mathrm{m} = 0,106\\ \mathrm{mm}.
Como \delta\ll a, o efeito de pele domina.

Passo 4

A área efetiva de condução em cada fio é aproximada por
A_{\rm ef}\approx 2\pi\,a\,\delta = 2\pi\cdot1\times10^{-3}\cdot1,06\times10^{-4} \approx 6,68\times10^{-7}\\ \mathrm{m^2}.
Então a resistência AC por metro de um fio é
R' = \frac{\rho_{100}}{A_{\rm ef}} = \frac{2,23\times10^{-8}}{6,68\times10^{-7}} \approx 0,0334\\ \Omega/\mathrm{m}.

Passo 5

Para um quilômetro, cada fio tem
R_{1\,\mathrm{km},\,\mathrm{fio}} = 0,0334\\ \Omega/\mathrm{m}\times1000\\ \mathrm{m} =33,4\\ \Omega.
Os 7 fios em paralelo resultam em
R_{1\,\mathrm{km},\,\mathrm{cab}} = \frac{33,4\\ \Omega}{7} \approx 4,77\\ \Omega.

Resposta

a) \rho_{100^\circ C}\approx2,23\times10^{-8}\\ \Omega\cdot m
b) R_{\rm AC\\ por\\ km}\approx4,77\\ \Omega

Exercícios relacionados