Um circuito R L C série é construído utilizando como valores dos componentes R=100 \Omega e L= 1,5 \mathrm{mH}, juntamente com uma fonte de tensão senoidal v_{s}. Se Q_{0}=7, determine:
a) o módulo da impedância em 500 \mathrm{Mrad} / \mathrm{s}.
b) a corrente que circula em resposta a uma tensão v_{s}=2,5 \cos (425 \times 106 t) \mathrm{V}.

Passo 1

O enunciado dá um circuito série RLC com os seguintes dados:
R=100\\ \Omega,\qquad L=1{,}5\\ \mathrm{mH}=1{,}5\times10^{-3}\\ \mathrm{H},\qquad Q_{0}=7.
Pede-se:
a) o módulo da impedância para \omega=500\\ \mathrm{Mrad/s}=500\times10^{6}\\ \mathrm{rad/s}.
b) a corrente que circula quando a fonte é v_{s}(t)=2{,}5\cos\bigl(425\times10^{6}t\bigr)\\ \mathrm{V} (ou seja, \omega=425\times10^{6}\\ \mathrm{rad/s}).
Listei as informações relevantes (valores numéricos e as frequências a avaliar). A resolução começa agora.

Passo 2

Precisamos obter a capacitância C do circuito porque a impedância depende de C. Para um circuito série na ressonância, o fator de qualidade Q_{0} (definido aqui por Q_{0}=\dfrac{\omega_{0}L}{R}) relaciona R,L e a frequência de ressonância \omega_{0}. Vou explicar essa fórmula rapidamente:
  • Em série, o fator de qualidade no ponto de ressonância é \displaystyle Q_{0}=\frac{\omega_{0}L}{R}. Aqui \omega_{0} é a pulsação de ressonância, L a indutância e R a resistência. A ideia física: quanto maior \omega_{0}L comparado a R, mais “afetada” pela reatância indutiva a resposta é — daí o Q.
Nós conhecemos Q_{0},L,R, então isolamos \omega_{0}:
\omega_{0}=\frac{Q_{0}R}{L}.
Substituindo números:
\omega_{0}=\frac{7\cdot 100}{1{,}5\times10^{-3}}=\frac{700}{1{,}5\times10^{-3}}=466{,}666\;666\;666\ldots\times10^{3}\\ \mathrm{rad/s}
ou seja
\omega_{0}=4{,}6666667\times10^{5}\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 3

Agora usamos a relação de ressonância entre L,C:
\omega_{0}=\frac{1}{\sqrt{LC}}\quad\Longrightarrow\quad C=\frac{1}{\omega_{0}^{2}L}.
Explico as variáveis: L em henry, \omega_{0} em rad/s, então C sai em farad. Substituindo:
\omega_{0}^{2}=(4{,}6666667\times10^{5})^{2}=2{,}1777777778\times10^{11}\\ \mathrm{(rad/s)}^{2},
\omega_{0}^{2}L=2{,}1777777778\times10^{11}\cdot1{,}5\times10^{-3}=3{,}2666666667\times10^{8},
C=\frac{1}{3{,}2666666667\times10^{8}}=3{,}0597014925\times10^{-9}\\ \mathrm{F}.
Arredondando de forma prática:
C\approx3{,}06\\ \mathrm{nF}.

Passo 4

A impedância complexa de um circuito série RLC é
Z(\omega)=R+j\bigl(\omega L-\tfrac{1}{\omega C}\bigr),
onde \omega L é a reatância indutiva X_{L} e \tfrac{1}{\omega C} é a reatância capacitiva X_{C}. O módulo é
|Z(\omega)|=\sqrt{R^{2}+\bigl(\omega L-\tfrac{1}{\omega C}\bigr)^{2}}.
Agora calculamos para \omega=500\times10^{6}\\ \mathrm{rad/s}.
Calcule X_{L} e X_{C}:
X_{L}=\omega L=(500\times10^{6})\cdot(1{,}5\times10^{-3})=750{,}000\\ \Omega.
\omega C=(500\times10^{6})\cdot(3{,}0597014925\times10^{-9})=1{,}5298507463\quad\Longrightarrow\quad X_{C}=\frac{1}{\omega C}=0{,}6535947712\\ \Omega.
A reatância líquida:
X(\omega)=X_{L}-X_{C}=750{,}000-0{,}6535947712=749{,}999{,}3464052288\\ \Omega.
Logo o módulo da impedância:
|Z|=\sqrt{100^{2}+(749{,}999{,}3464052288)^{2}}\approx7{,}49999\times10^{5}\\ \Omega.
Avaliação numérica com mais dígitos:
|Z(500\times10^{6})|\approx749{,}999{,}35\\ \Omega\quad(\text{aprox. }7{,}50\times10^{5}\\ \Omega).

Passo 5

Agora a parte (b). A fonte é v_{s}(t)=2{,}5\cos\bigl(425\times10^{6}t\bigr)\\ \mathrm{V}, portanto \omega=425\times10^{6}\\ \mathrm{rad/s}. Vamos calcular Z(\omega), sua magnitude e a corrente correspondente.
Calcule X_{L} e X_{C} para \omega=425\times10^{6}:
X_{L}=\omega L=(425\times10^{6})\cdot(1{,}5\times10^{-3})=637{,}500\\ \Omega.
\omega C=(425\times10^{6})\cdot(3{,}0597014925\times10^{-9})\approx1{,}3003731333\quad\Longrightarrow\quad X_{C}=\frac{1}{\omega C}\approx0{,}768667\\ \Omega.
Reatância líquida:
X(\omega)=X_{L}-X_{C}\approx637{,}500-0{,}768667=637{,}499{,}231333\\ \Omega.
Módulo da impedância:
|Z|=\sqrt{100^{2}+(637{,}499{,}231333)^{2}}\approx637{,}499{,}24\\ \Omega.
O fasor da tensão (amplitude) é V=2{,}5\\ \mathrm{V}. O fasor da corrente é \displaystyle I=\frac{V}{Z}. Em módulo:
I_{\text{amp}}=\frac{2{,}5}{|Z|}\approx\frac{2{,}5}{637{,}499{,}24}=3{,}921569\times10^{-6}\\ \mathrm{A}=3{,}92\\ \mu\mathrm{A}.
A fase da impedância é
\varphi=\arctan\!\left(\frac{X(\omega)}{R}\right)=\arctan\!\left(\frac{637{,}499{,}231333}{100}\right)\approx1{,}5706395\\ \text{rad}\approx89{,}991^\circ.
Como Z=|Z|e^{j\varphi}, a corrente tem fase -\varphi em relação à tensão (circuito indutivo: corrente atrasa). Assim a corrente no tempo é
i(t)=I_{\text{amp}}\cos\bigl(425\times10^{6}t-\varphi\bigr).
Substituindo valores numéricos:
i(t)\approx3{,}9216\times10^{-6}\cos\bigl(425\times10^{6}t-1{,}57064\bigr)\\ \mathrm{A}.

Resposta

a) |Z(500\times10^{6})|\approx7{,}49999\times10^{5}\\ \Omega (aprox. 749{,}999{,}35\\ \Omega).
b) i(t)\approx3{,}9216\times10^{-6}\cos\bigl(425\times10^{6}t-1{,}57064\bigr)\\ \mathrm{A} (amplitude \approx3{,}92\\ \mu\mathrm{A}, defasagem \varphi\approx1{,}57064\\ \mathrm{rad}\approx89{,}991^\circ).

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