As seguintes fontes de tensão \mathrm{Ae}^{b t} \cos (\mathrm{Ct}+\theta) são ligados (uma de cada vez) a um resistor de 280 \Omega. Calcule a corrente resultante em t=0, 0,1 e 0,5 \mathrm{~s}, assumindo a convenção de sinal passivo:
(a) \mathrm{A}=1 \mathrm{~V}, \mathrm{~B}=0,2 \mathrm{~Hz}, \mathrm{C}=0, \theta=45^{\circ}

Passo 1

O enunciado pede para ligar, uma de cada vez, a fonte de tensão
v(t)=A\,\mathrm{e}^{b t}\cos(Ct+\theta)
a um resistor de 280\\ \Omega e calcular a corrente resultante nos instantes t=0, t=0{,}1 e t=0{,}5\\ \mathrm{s}, usando a convenção de sinal passivo.
Dados fornecidos (vou listar exatamente o que o enunciado deu):
A=1\\ \mathrm{V},\quad b=0{,}2\\ (\text{onde foi escrito "Hz" — aqui interpretamos como }0{,}2\\ \mathrm{s}^{-1}),\quad C=0,\quad \theta=45^\circ,
resistor R=280\\ \Omega.
Perguntas claras:
  • Calcular i(0).
  • Calcular i(0{,}1).
  • Calcular i(0{,}5).

Passo 2

Simplifico a expressão da tensão usando os dados: como C=0, temos \cos(Ct+\theta)=\cos(\theta) constante. Portanto
v(t)=A\,\mathrm{e}^{b t}\cos(\theta).
Substituindo A=1, b=0{,}2 e \theta=45^\circ,
v(t)=\mathrm{e}^{0{,}2t}\cos(45^\circ).
Nota sobre a unidade de b: a função \mathrm{e}^{b t} exige que b esteja em \mathrm{s}^{-1}. O enunciado escreveu “Hz”, que é numericamente igual a \mathrm{s}^{-1}, então usamos b=0{,}2\\ \mathrm{s}^{-1}.

Passo 3

Lembrando a convenção de sinal passivo para um resistor: a corrente i que entra no terminal positivo da tensão v satisfaz a lei de Ohm
v=R\,i.
Assim, a corrente é
i(t)=\frac{v(t)}{R}.

Passo 4

Substituo v(t) na expressão de i(t):
i(t)=\frac{\mathrm{e}^{0{,}2t}\cos(45^\circ)}{280}.
Agora uso que \cos(45^\circ)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}. Então
i(t)=\frac{\mathrm{e}^{0{,}2t}}{280}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{560}\,\mathrm{e}^{0{,}2t}.

Passo 5

Para ficar prático, defino a constante multiplicativa
k=\frac{\sqrt{2}}{560}.
Vou aproximar \sqrt{2}\approx 1{,}4142136. Logo
k\approx\frac{1{,}4142136}{560}\approx 0{,}00252538\\ \mathrm{A}.
Assim temos a forma numérica útil
i(t)\approx 0{,}00252538\;\mathrm{e}^{0{,}2t}\\ \mathrm{A}.

Passo 6

Agora preciso avaliar \mathrm{e}^{0{,}2t} nos instantes pedidos. Para evitar depender de calculadora, podemos usar a expansão em série de Taylor curta (suficiente para pequenas potências) ou valores conhecidos:
  • Para t=0: \mathrm{e}^{0}=1.
  • Para t=0{,}1: \mathrm{e}^{0{,}2\cdot 0{,}1}=\mathrm{e}^{0{,}02}. Pela série \mathrm{e}^x\approx 1+x+\dfrac{x^2}{2} para x pequeno, com x=0{,}02 temos 1+0{,}02+\dfrac{0{,}0004}{2}=1{,}0202 (isto já é muito preciso).
  • Para t=0{,}5: \mathrm{e}^{0{,}2\cdot 0{,}5}=\mathrm{e}^{0{,}1}. Pela série até o terceiro termo 1+x+\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{6} com x=0{,}1 obtemos 1+0{,}1+0{,}005+0{,}0001667\approx 1{,}1051667. O valor mais preciso conhecido é 1{,}1051709; ambos coincidem até as primeiras casas úteis.

Passo 7

Calculo agora cada corrente multiplicando k pelos fatores \mathrm{e}^{0{,}2t}:
  • Para t=0:
i(0)=k\cdot 1\approx 0{,}00252538\\ \mathrm{A}.
  • Para t=0{,}1: uso \mathrm{e}^{0{,}02}\approx 1{,}02020134 (valor bem próximo da aproximação em série).
i(0{,}1)\approx 0{,}00252538\times 1{,}02020134\approx 0{,}00257640\\ \mathrm{A}.
  • Para t=0{,}5: uso \mathrm{e}^{0{,}1}\approx 1{,}10517092.
i(0{,}5)\approx 0{,}00252538\times 1{,}10517092\approx 0{,}00279098\\ \mathrm{A}.
Se você fizer essas multiplicações passo a passo numa prova (multiplicar a constante por 1{,}02 e ajustar o resto), obtém os mesmos valores com precisão prática.

Resposta

i(0)=0{,}00252538\\ \mathrm{A}\n
i(0{,}1)=0{,}00257640\\ \mathrm{A}\n
i(0{,}5)=0{,}00279098\\ \mathrm{A}

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