As seguintes fontes de tensão \mathrm{Ae}^{b t} \cos (\mathrm{Ct}+\theta) são ligados (uma de cada vez) a um resistor de 280 \Omega. Calcule a corrente resultante em t=0, 0,1 e 0,5 \mathrm{~s}, assumindo a convenção de sinal passivo:
(b) \mathrm{A}=285 \mathrm{mV}, \mathrm{~B}=-1 \mathrm{~Hz}, \mathrm{C}=2 \mathrm{rad} / \mathrm{s}, \theta=-45^{\circ}.

Passo 1

O enunciado pede que, para a fonte de tensão
v(t)=A\,e^{b t}\cos(Ct+\theta)
ligada a um resistor R=280\\ \Omega, calculemos a corrente resultante nos instantes t=0, t=0,1 e t=0,5\\ \text{s}, adotando a convenção de sinal passivo.
Dados fornecidos:
A=285\\ \text{mV},\quad b=-1\\ \text{Hz},\quad C=2\\ \text{rad/s},\quad \theta=-45^\circ,\quad R=280\\ \Omega.
As perguntas são, portanto: qual é i(0), i(0,1) e i(0,5)?

Passo 2

Primeiro, vamos organizar unidades e lembrar a relação entre tensão e corrente numa resistência sob a convenção de sinal passivo. A convenção de sinal passivo diz que a corrente que entra no terminal positivo da resistência tem sinal positivo; em um resistor ideal vale a lei de Ohm:
i(t)=\frac{v(t)}{R}.
Conversões e observações:
  • 285\\ \text{mV}=0,285\\ \text{V}. Logo A=0,285\\ \text{V}.
  • O coeficiente b=-1\\ \text{Hz} aqui deve ser tratado como b=-1\\ \text{s}^{-1} (taxa de decaimento no exponencial).
  • O ângulo \theta=-45^\circ em radianos é \theta=-\pi/4.
    Assim, a tensão é
v(t)=0,285\,e^{-1\cdot t}\cos\!\bigl(2t-\tfrac{\pi}{4}\bigr)\\ \text{V},
e a corrente correspondente é
i(t)=\frac{0,285}{280}\,e^{-t}\cos\!\bigl(2t-\tfrac{\pi}{4}\bigr)\\ \text{A}.
Para simplificar os cálculos definimos a constante
K=\frac{A}{R}=\frac{0,285}{280}=0,0010178571428571429\\ \text{A}.
Logo
i(t)=K\,e^{-t}\cos\!\bigl(2t-\tfrac{\pi}{4}\bigr).

Passo 3

Vamos calcular i(0). Substituindo t=0 em i(t):
i(0)=K\cdot e^{0}\cdot\cos\!\bigl(0-\tfrac{\pi}{4}\bigr)=K\cos\!\bigl(-\tfrac{\pi}{4}\bigr).
Usamos \cos(-\alpha)=\cos\alpha e \cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr)=\tfrac{\sqrt{2}}{2}\approx0,70710678. Assim
i(0)=K\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}.
Numericamente,
i(0)=0,0010178571428571429\cdot0,70710678\approx0,0007191\\ \text{A}.
Em miliampères isso é
i(0)\approx0,7191\\ \text{mA}.

Passo 4

Agora i(0,1). Substituímos t=0,1 em i(t):
i(0,1)=K\,e^{-0,1}\cos\!\bigl(2\cdot0,1-\tfrac{\pi}{4}\bigr).
Calculos intermediários:
e^{-0,1}\approx0,904837418,
2\cdot0,1-\tfrac{\pi}{4}=0,2-\tfrac{\pi}{4}\approx-0,585398163\\ \text{rad}.
Tomando o cosseno:
\cos(-0,585398163)=\cos(0,585398163)\approx0,833495.
Multiplicando tudo:
i(0,1)=0,0010178571428571429\cdot0,904837418\cdot0,833495\approx0,0007673\\ \text{A},
ou seja
i(0,1)\approx0,7673\\ \text{mA}.

Passo 5

Finalmente i(0,5). Substituímos t=0,5 em i(t):
i(0,5)=K\,e^{-0,5}\cos\!\bigl(2\cdot0,5-\tfrac{\pi}{4}\bigr).
Calculos intermediários:
e^{-0,5}\approx0,60653066,
2\cdot0,5-\tfrac{\pi}{4}=1-\tfrac{\pi}{4}\approx0,214601837\\ \text{rad}.
Cosseno:
\cos(0,214601837)\approx0,977062.
Multiplicando:
i(0,5)=0,0010178571428571429\cdot0,60653066\cdot0,977062\approx0,0006032\\ \text{A},
ou seja
i(0,5)\approx0,6032\\ \text{mA}.

Passo 6

Resumo rápido do procedimento para você aplicar na prova: converta unidades (mV→V, graus→radianos), escreva i(t)=v(t)/R, calcule a constante K=A/R uma vez só, avalie e^{bt} e \cos(Ct+\theta) para cada instante e multiplique. Se precisar de aproximações, usar 3–4 casas decimais é suficiente em geral. Força aí — você consegue!

Resposta

i(0)=0,0007191\\ \text{A} \approx 0,7191\\ \text{mA}
i(0,1)=0,0007673\\ \text{A} \approx 0,7673\\ \text{mA}
i(0,5)=0,0006032\\ \text{A} \approx 0,6032\\ \text{mA}

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