Em um circuito em série de dois elementos, a potência é 940 watts e o fator de potência e 0,707 adiantado. Sendo v=99 sen(6000t+30^circ) a tensão aplicada, determinar os dois elementos. Resp.: R=2,6 ohms e C=64,1 mu F.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos um circuito série com dois elementos (você já vai ver que é um resistor e um capacitor), alimentado por

e que a potência ativa é v(t)=99sen(6000t+30^circ),, W com fator de potência P=940, adiantado. Então o que a gente vai usar para resolver isso é:
- Cálculo de valor eficaz (RMS) da tensão;
- Relação entre potência, tensão RMS, impedância e fator de potência;
- Análise de um circuito série pf=0,707 (ângulo de impedância e módulo);
- Relação Z=R - jXC para tirar o valor de XC=tfrac1omega C.

Passo 2

Primeiro, calcula a tensão RMS, porque em potência usa-se valor eficaz:
Vrm rms=Vrm mraiz2=99raiz2approx70,0 V,
Aqui a ideia é: o sinal é senoidal de pico Vm=99,V, e convertemos para RMS dividindo por raiz2.

Passo 3

O fator de potência é pf=cosvarphi=0,707. Então
varphi=arccos(0,707)=45^circ,
Como é “adiantado”, a corrente “puxa” na frente da tensão, ou seja, o circuito é capacitivo e o ângulo da impedância é negativo:
varphiZ=-45^circ,

Passo 4

Na série, a potência ativa vale
$$P=V_{\rm rms},I_{\rm rms}\cos\varphi
=\frac{V_{\rm rms}^2}{|Z|}\cos\varphi,. P=Vrm rms,Irm rmscosvarphi =Vrm rms^2|Z|cosvarphi, óâ|Z|=\frac{V_{\rm rms}^2\cos\varphi}{P}
=\frac{(70,0)^2\cdot0,707}{940}\approx3,69\ \Omega,. $$

Passo 5

Como Z=R-jXC tem módulo |Z| e ângulo varphiZ=-45^circ, podemos achar R e XC pelas projeções no plano complexo:
R=|Z|cos(-45^circ)=3,69cdot0,707approx2,61 Omega,,
-XC=|Z|sin(-45^circ)=3,69cdot(-0,707)Longrightarrow XCapprox2,61 Omega,
Lembra que sin(-45^circ)=-tfracraiz22, daí o “menos” vira positivo em XC.

Passo 6

Por fim, a reatância capacitiva XC e a capacitância estão ligadas por
XC=1omega C,omega=6000 rad/s
Então
C=1omega,XC=16000cdot2,61approx6,40times10^-5,F=64,0 muF,

Resposta

R;=;2{,}6;\Omega
C;=;64{,}1;\mu F

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