1. Um circuito R L C em série é tormado por um resitor de resistëncia R=75 \Omega, um indutor com indutância L=10 \mathrm{mH} e um capacitor de capacitância C=0,20 \mu \mathrm{~F}. A carga inicial armazenada no capacitor é igual a q_{0}=0,4 \mathrm{mC} e a corrente é nula. Determine:
a) A equaçäo da carga em tunçäo do tempo;

Passo 1

O enunciado dá um circuito série RLC e pede:
a) a equação da carga em função do tempo.
Informações fornecidas (retiradas do enunciado / figura):
  • R=75\\ \Omega.
  • L=10\\ \mathrm{mH} = 0{,}01\\ \mathrm{H}.
  • C=0{,}20\\ \mu\mathrm{F} = 2{,}0\times10^{-7}\\ \mathrm{F}.
  • Carga inicial no capacitor: q_0 = 0{,}4\\ \mathrm{mC} = 4{,}0\times10^{-4}\\ \mathrm{C}.
  • Corrente inicial: i(0)=0.

Passo 2

Escrever a equação diferencial que governa q(t). Explicação passo a passo: por Lei de Kirchhoff das tensões, somando as quedas de tensão no resistor, indutor e capacitor e igualando a zero (não há fonte externa):
L\frac{d i}{dt} + R i + \frac{q}{C} = 0,
onde i(t) é a corrente e q(t) é a carga no capacitor, e valem i(t)=\dfrac{dq}{dt}. Substituindo i=q' obtemos a equação para q(t):
L q'' + R q' + \frac{1}{C}\,q = 0.
Aqui q'=\dfrac{dq}{dt} e q''=\dfrac{d^2q}{dt^2}. Esta é uma EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes.

Passo 3

Colocar em forma padrão e definir parâmetros úteis. Dividindo por L:
q'' + \frac{R}{L} q' + \frac{1}{LC}\,q = 0.
Definir os parâmetros característicos:
  • taxa de amortecimento
\alpha = \frac{R}{2L},
  • frequência natural (não amortecida)
\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}.
Com essas definições a equação fica
q'' + 2\alpha q' + \omega_0^2 q = 0.
Comentário didático: os autovalores da equação são -\alpha \pm \sqrt{\alpha^2-\omega_0^2}. O comportamento depende de \alpha em relação a \omega_0: sobreamortecido, criticamente amortecido ou subamortecido. No caso subamortecido (quando \alpha<\omega_0) as soluções são senóide amortecidas.

Passo 4

Calcular numericamente \alpha e \omega_0 usando os valores dados (peguei R,L,C do enunciado acima):
\alpha = \frac{R}{2L}=\frac{75}{2\cdot0{,}01}=\frac{75}{0{,}02}=3{,}75\times10^{3}\\ \mathrm{s}^{-1}.
\omega_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}=\frac{1}{\sqrt{0{,}01\cdot 2{,}0\times10^{-7}}} =\frac{1}{\sqrt{2{,}0\times10^{-9}}}\approx 2{,}2361\times10^{4}\\ \mathrm{s}^{-1}.

Passo 5

Determinar o regime de amortecimento e a frequência amortecida. Comparando \alpha e \omega_0:
\alpha = 3{,}75\times10^{3}\\ <\\ \omega_0 = 2{,}2361\times10^{4},
logo o circuito é subamortecido (underdamped). A frequência angular amortecida é
\omega_d=\sqrt{\omega_0^2-\alpha^2}.
Calcular numericamente:
\omega_0^2 \approx 5{,}0000\times10^{8},\qquad \alpha^2=(3{,}75\times10^{3})^2=1{,}40625\times10^{7},
\omega_d=\sqrt{5{,}0000\times10^{8}-1{,}40625\times10^{7}}=\sqrt{4{,}859375\times10^{8}}\approx 2{,}2044\times10^{4}\\ \mathrm{s}^{-1}.

Passo 6

Escrever a solução geral no caso subamortecido e explicar por que: as raízes complexas levam a uma solução da forma
q(t)=e^{-\alpha t}\bigl(A\cos(\omega_d t)+B\sin(\omega_d t)\bigr),
onde A e B são constantes determinadas pelas condições iniciais. Intuição: e^{-\alpha t} dá a decadência exponencial (amortecimento) e os cosseno/seno dão a oscilação com frequência \omega_d.

Passo 7

Aplicar as condições iniciais para determinar A e B. Em t=0:
q(0)=q_0 = A,
portanto A=q_0. Agora usar i(0)=q'(0)=0. Calcular q'(t) (mostrar derivação passo a passo):
q'(t) = \frac{d}{dt}\bigl(e^{-\alpha t}(A\cos\omega_d t + B\sin\omega_d t)\bigr).
Usando produto e derivadas de seno/cosseno:
q'(t)= -\alpha e^{-\alpha t}(A\cos\omega_d t + B\sin\omega_d t) + e^{-\alpha t}(-A\omega_d\sin\omega_d t + B\omega_d\cos\omega_d t).
Avaliar em t=0:
q'(0)= -\alpha(A\cdot1 + B\cdot0) + (-A\omega_d\cdot0 + B\omega_d\cdot1) = -\alpha A + \omega_d B.
Impor q'(0)=i(0)=0
-\alpha A + \omega_d B = 0 \quad\Rightarrow\quad B = \frac{\alpha}{\omega_d}\,A.
Como A=q_0, obtemos B = \dfrac{\alpha}{\omega_d}\,q_0.

Passo 8

Escrever a solução final substituindo A e B e os valores numéricos (mostrando também a forma com coeficiente numérico):
Forma simbólica:
q(t)=q_0\,e^{-\alpha t}\left(\cos(\omega_d t)+\frac{\alpha}{\omega_d}\sin(\omega_d t)\right).
Substituindo números ( q_0=4{,}0\times10^{-4}\\ \mathrm{C}, \alpha=3{,}75\times10^{3}\\ \mathrm{s}^{-1}, \omega_d=2{,}2044\times10^{4}\\ \mathrm{s}^{-1} e \dfrac{\alpha}{\omega_d}\approx0{,}1701):
q(t)=4{,}0\times10^{-4}\,e^{-3{,}75\times10^{3}t}\!\left(\cos(2{,}2044\times10^{4}t)+0{,}1701\sin(2{,}2044\times10^{4}t)\right)\\ \mathrm{C}.
Essa é a expressão da carga no capacitor para t\ge0: oscilação amortecida com frequência angular \omega_d e decaimento exponencial com taxa \alpha. Vai bem — é a resposta que se pede; se na prova pedirem, pode também reescrever em forma de cosseno com fase (somente combinar os termos cosseno/seno).

Resposta

q(t)=q_0\,e^{-\alpha t}\!\left(\cos(\omega_d t)+\dfrac{\alpha}{\omega_d}\sin(\omega_d t)\right) com q_0=4{,}0\times10^{-4}\\ \mathrm{C}, \alpha=3{,}75\times10^{3}\\ \mathrm{s}^{-1} e \omega_d=2{,}2044\times10^{4}\\ \mathrm{s}^{-1}.\n
q(t)=4{,}0\times10^{-4}\,e^{-3{,}75\times10^{3}t}\!\left(\cos(2{,}2044\times10^{4}t)+0{,}1701\sin(2{,}2044\times10^{4}t)\right)\\ \mathrm{C}.

Exercícios relacionados