- Um circuito
em série é tormado por um resitor de resistëncia
, um indutor com indutância
e um capacitor de capacitância
. A carga inicial armazenada no capacitor é igual a
e a corrente é nula. Determine:
a) A equaçäo da carga em tunçäo do tempo;
Passo 1
O enunciado dá um circuito série RLC e pede:
a) a equação da carga em função do tempo.
a) a equação da carga em função do tempo.
Informações fornecidas (retiradas do enunciado / figura):
-
. -
. -
. - Carga inicial no capacitor:
. - Corrente inicial:
.
Passo 2
Escrever a equação diferencial que governa
. Explicação passo a passo: por Lei de Kirchhoff das tensões, somando as quedas de tensão no resistor, indutor e capacitor e igualando a zero (não há fonte externa):
onde
é a corrente e
é a carga no capacitor, e valem
. Substituindo
obtemos a equação para
:
Aqui
e
. Esta é uma EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes.
Passo 3
Colocar em forma padrão e definir parâmetros úteis. Dividindo por
:
Definir os parâmetros característicos:
- taxa de amortecimento
- frequência natural (não amortecida)
Com essas definições a equação fica
Comentário didático: os autovalores da equação são
. O comportamento depende de
em relação a
: sobreamortecido, criticamente amortecido ou subamortecido. No caso subamortecido (quando
) as soluções são senóide amortecidas.
Passo 4
Calcular numericamente
e
usando os valores dados (peguei
do enunciado acima):
Passo 5
Determinar o regime de amortecimento e a frequência amortecida. Comparando
e
:
logo o circuito é subamortecido (underdamped). A frequência angular amortecida é
Calcular numericamente:
Passo 6
Escrever a solução geral no caso subamortecido e explicar por que: as raízes complexas levam a uma solução da forma
onde
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais. Intuição:
dá a decadência exponencial (amortecimento) e os cosseno/seno dão a oscilação com frequência
.
Passo 7
Aplicar as condições iniciais para determinar
e
. Em
:
portanto
. Agora usar
. Calcular
(mostrar derivação passo a passo):
Usando produto e derivadas de seno/cosseno:
Avaliar em
:
Impor
dá
Como
, obtemos
.
Passo 8
Escrever a solução final substituindo
e
e os valores numéricos (mostrando também a forma com coeficiente numérico):
Forma simbólica:
Forma simbólica:
Substituindo números (
,
,
e
):
Essa é a expressão da carga no capacitor para
: oscilação amortecida com frequência angular
e decaimento exponencial com taxa
. Vai bem — é a resposta que se pede; se na prova pedirem, pode também reescrever em forma de cosseno com fase (somente combinar os termos cosseno/seno).