1. Um circuito elétrico L C é composto por um indutor de 2 mH e um capacitor de 0,8 \mu \mathrm{Fe} é alimentado por uma fonte de tensão alternada V=9 \cos 2.10^{4} t (volts). A carga inicial do capacitor é de 320 \mu \mathrm{C} e a corrente no circuito é nula, determine:
b) A variaçäo da corrente no circuito.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado e a figura nos dão e o que é pedido (peguei estes números da imagem).
Dados fornecidos:
  • Indutância: L=2\\ \text{mH}=2\times10^{-3}\\ \text{H}.
  • Capacitância: C=0{,}8\\ \mu\text{F}=0{,}8\times10^{-6}\\ \text{F}.
  • Fonte de tensão: V(t)=9\cos\!\left(2\cdot10^{4}t\right)\\ \text{V}. Então a amplitude é V_0=9 e a frequência angular da fonte é \omega=2\cdot10^{4}\\ \text{rad/s}.
  • Carga inicial no capacitor: q(0)=320\\ \mu\text{C}=320\times10^{-6}\\ \text{C}.
  • Corrente inicial: i(0)=0.
O enunciado pede (parte b): determinar a variação da corrente no circuito, ou seja, encontrar i(t) para t\ge0.

Passo 2

Montar a equação diferencial que descreve o circuito e explicar as variáveis.
Definições e ideia física:
  • Chamar q(t) a carga no capacitor em instantes t. A tensão no capacitor é v_C(t)=\dfrac{q(t)}{C}.
  • A corrente no circuito é i(t)=\dfrac{dq}{dt}.
  • Aplicando a Lei das Malhas (KVL) para o circuito série ideal L e C sem resistência:
\text{tensão no indutor}+\text{tensão no capacitor}=\text{tensão da fonte}.ããã
  • A tensão no indutor é v_L=L\,\dfrac{di}{dt}=L\,\dfrac{d^2 q}{dt^2}.
Portanto a equação de movimento é
L\,\frac{d^{2}q}{dt^{2}}+\frac{q}{C}=V(t).
Explicando cada termo:
  • L\,\dfrac{d^{2}q}{dt^{2}} representa a queda de tensão no indutor devido à variação da corrente.
  • \dfrac{q}{C} é a tensão no capacitor.
  • V(t) é a fonte externa.

Passo 3

Colocar a equação diferencial na forma padrão e calcular a frequência natural do circuito.
Dividindo por L:
\frac{d^{2}q}{dt^{2}}+\frac{1}{LC}\,q=\frac{1}{L}V(t).
Definindo a frequência natural \omega_{0} por
\omega_{0}^{2}=\frac{1}{LC},
temos a equação
\frac{d^{2}q}{dt^{2}}+\omega_{0}^{2}q=\frac{1}{L}V_{0}\cos(\omega t),
onde V_{0}=9 e \omega=2\cdot10^{4}.
Calcular \omega_{0} numericamente:
LC=(2\times10^{-3})\cdot(0{,}8\times10^{-6})=1{,}6\times10^{-9},
\sqrt{LC}=\sqrt{1{,}6\times10^{-9}}=4{,}0\times10^{-5},
\omega_{0}=\frac{1}{\sqrt{LC}}=\frac{1}{4{,}0\times10^{-5}}=2{,}5\times10^{4}\\ \text{rad/s}.
Observação: a fonte tem \omega=2{,}0\times10^{4}\\ \text{rad/s}, portanto \omega é diferente de \omega_{0} (não há ressonância exata).

Passo 4

Resolver a equação diferencial por decomposição em solução homogênea + particular e explicar o método.
Equação homogênea:
\frac{d^{2}q_{h}}{dt^{2}}+\omega_{0}^{2}q_{h}=0,
cuja solução geral é
q_{h}(t)=C_{1}\cos(\omega_{0}t)+C_{2}\sin(\omega_{0}t).
Solução particular para o forçamento \dfrac{V_{0}}{L}\cos(\omega t):
  • Como o lado direito é uma cosenoide, suponha q_{p}(t)=A\cos(\omega t)+B\sin(\omega t).
  • Substituindo e igualando coeficientes obtém-se B=0 e
A(\omega_{0}^{2}-\omega^{2})=\frac{V_{0}}{L}\quad\Rightarrow\quad A=\frac{V_{0}/L}{\omega_{0}^{2}-\omega^{2}}.
Logo
q_{p}(t)=A\cos(\omega t),\qquad A=\frac{V_{0}}{L(\omega_{0}^{2}-\omega^{2})}.
A solução geral é a soma:
q(t)=C_{1}\cos(\omega_{0}t)+C_{2}\sin(\omega_{0}t)+A\cos(\omega t).

Passo 5

Impor as condições iniciais e determinar as constantes C_{1} e C_{2}.
Condições iniciais:
q(0)=Q_{0}=320\times10^{-6}\\ \text{C},\qquad i(0)=q'(0)=0.
Calcular A numericamente:
\omega_{0}^{2}=(2{,}5\times10^{4})^{2}=6{,}25\times10^{8},
\omega^{2}=(2{,}0\times10^{4})^{2}=4{,}00\times10^{8},
\omega_{0}^{2}-\omega^{2}=2{,}25\times10^{8},
L(\omega_{0}^{2}-\omega^{2})=2\times10^{-3}\cdot2{,}25\times10^{8}=4{,}5\times10^{5},
A=\frac{V_{0}}{L(\omega_{0}^{2}-\omega^{2})}=\frac{9}{4{,}5\times10^{5}}=2{,}0\times10^{-5}\\ \text{C}.
Agora aplicar t=0 em q(t):
q(0)=C_{1}+A=Q_{0}\quad\Rightarrow\quad C_{1}=Q_{0}-A.
Derivando q(t):
q'(t)=-C_{1}\omega_{0}\sin(\omega_{0}t)+C_{2}\omega_{0}\cos(\omega_{0}t)-A\omega\sin(\omega t).
Em t=0:
q'(0)=C_{2}\omega_{0}=i(0)=0\quad\Rightarrow\quad C_{2}=0.
Portanto
C_{1}=Q_{0}-A.

Passo 6

Escrever q(t) e obter a corrente i(t)=q'(t), com valores numéricos finais e simplificados.
Substituindo as constantes:
q(t)=(Q_{0}-A)\cos(\omega_{0}t)+A\cos(\omega t).
Derivando para obter a corrente:
i(t)=q'(t)=-(Q_{0}-A)\,\omega_{0}\sin(\omega_{0}t)-A\,\omega\sin(\omega t).
Substituir os valores numéricos calculados:
  • Q_{0}=320\times10^{-6}=3{,}20\times10^{-4}\\ \text{C}.
  • A=2{,}0\times10^{-5}\\ \text{C}.
  • Q_{0}-A=3{,}20\times10^{-4}-2{,}0\times10^{-5}=3{,}00\times10^{-4}\\ \text{C}.
  • \omega_{0}=2{,}5\times10^{4}\\ \text{rad/s}.
  • \omega=2{,}0\times10^{4}\\ \text{rad/s}.
Calcular os coeficientes das funções seno:
(Q_{0}-A)\omega_{0}=3{,}00\times10^{-4}\cdot2{,}5\times10^{4}=7{,}5\\ \text{A},
A\omega=2{,}0\times10^{-5}\cdot2{,}0\times10^{4}=0{,}4\\ \text{A}.
Portanto a expressão final para a corrente é
i(t)=-7{,}5\sin\!\bigl(2{,}5\times10^{4}t\bigr)-0{,}4\sin\!\bigl(2{,}0\times10^{4}t\bigr)\quad\text{(ampères)}.è
Interpretação curta (didática): a corrente é a soma de duas oscilações senoidais — uma livre de grande amplitude com frequência natural \omega_{0}=2{,}5\times10^{4}\\ \text{rad/s} (amplitude 7{,}5\\ \text{A}), determinada pela carga inicial do capacitor, e outra pequena oscilação forçada com frequência da fonte \omega=2{,}0\times10^{4}\\ \text{rad/s} (amplitude 0{,}4\\ \text{A}). Como não há amortecimento, a componente livre persiste indefinidamente.

Resposta

i(t)=-7{,}5\sin\!\bigl(2{,}5\times10^{4}t\bigr)-0{,}4\sin\!\bigl(2{,}0\times10^{4}t\bigr)\\ \text{A}

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