- Um circuito elétrico
é composto por um indutor de 2 mH e um capacitor de
é alimentado por uma fonte de tensão alternada
(volts). A carga inicial do capacitor é de
e a corrente no circuito é nula, determine:
b) A variaçäo da corrente no circuito.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado e a figura nos dão e o que é pedido (peguei estes números da imagem).
Dados fornecidos:
- Indutância:
. - Capacitância:
. - Fonte de tensão:
. Então a amplitude é e a frequência angular da fonte é . - Carga inicial no capacitor:
. - Corrente inicial:
.
O enunciado pede (parte b): determinar a variação da corrente no circuito, ou seja, encontrar
para
.
Passo 2
Montar a equação diferencial que descreve o circuito e explicar as variáveis.
Definições e ideia física:
- Chamar
a carga no capacitor em instantes . A tensão no capacitor é . - A corrente no circuito é
. - Aplicando a Lei das Malhas (KVL) para o circuito série ideal
e sem resistência:
- A tensão no indutor é
.
Portanto a equação de movimento é
Explicando cada termo:
-
representa a queda de tensão no indutor devido à variação da corrente. -
é a tensão no capacitor. -
é a fonte externa.
Passo 3
Colocar a equação diferencial na forma padrão e calcular a frequência natural do circuito.
Dividindo por
:
Definindo a frequência natural
por
temos a equação
onde
e
.
Calcular
numericamente:
Observação: a fonte tem
, portanto
é diferente de
(não há ressonância exata).
Passo 4
Resolver a equação diferencial por decomposição em solução homogênea + particular e explicar o método.
Equação homogênea:
cuja solução geral é
Solução particular para o forçamento
:
- Como o lado direito é uma cosenoide, suponha
. - Substituindo e igualando coeficientes obtém-se
e
Logo
A solução geral é a soma:
Passo 5
Impor as condições iniciais e determinar as constantes
e
.
Condições iniciais:
Calcular
numericamente:
Agora aplicar
em
:
Derivando
:
Em
:
Portanto
Passo 6
Escrever
e obter a corrente
, com valores numéricos finais e simplificados.
Substituindo as constantes:
Derivando para obter a corrente:
Substituir os valores numéricos calculados:
-
. -
. -
. -
. -
.
Calcular os coeficientes das funções seno:
Portanto a expressão final para a corrente é
Interpretação curta (didática): a corrente é a soma de duas oscilações senoidais — uma livre de grande amplitude com frequência natural
(amplitude
), determinada pela carga inicial do capacitor, e outra pequena oscilação forçada com frequência da fonte
(amplitude
). Como não há amortecimento, a componente livre persiste indefinidamente.