1. Determine a frequência de corte para os primeiros oito modos do guia de onda WR430.

Passo 1

O enunciado pede: determinar as frequências de corte para os primeiros oito modos do guia de onda WR430.
Dados que vou usar (peguei as dimensões padrão do WR430):
  • largura interna do guia: a = 4{,}300\\ \text{in}.
  • altura interna do guia: b = 2{,}150\\ \text{in}.
    Vou trabalhar no sistema SI (metros) e usar a velocidade da luz no vácuo aproximada \,c = 3\times10^{8}\\ \text{m/s}.
    O que vou entregar: a lista dos primeiros oito modos ordenados pelo valor crescente da frequência de corte, indicando o tipo do modo (TE ou TM) e a frequência de corte correspondente.

Passo 2

Fórmula básica e significado das grandezas.
A frequência de corte para um modo (m,n) em um guia retangular (modos TE e TM) é dada por:
f_{c,mn}=\frac{c}{2}\sqrt{\left(\frac{m}{a}\right)^{2}+\left(\frac{n}{b}\right)^{2}}.
Explicando cada símbolo:
  • f_{c,mn} é a frequência de corte do modo com índices m,n.
  • c é a velocidade da luz ( 3\times10^{8}\\ \text{m/s} aqui).
  • a é a dimensão interna maior (largura) do guia.
  • b é a dimensão interna menor (altura) do guia.
  • m,n são inteiros não-negativos que indexam as variações da seção transversal do campo. Para modos TE, m ou n podem ser zero (exceto ambos zero); para modos TM ambos m e n devem ser positivos (não nulos).
    Observação importante sobre degenerescência: diferentes pares (m,n) podem gerar exatamente a mesma f_c (por exemplo (2,0) e (0,1) se a e b tiverem proporção que leve a isso). Cada par (m,n) corresponde a um modo físico (TE ou TM), mesmo quando a frequência é igual à de outro modo (modo degenerado).

Passo 3

Conversão das dimensões para metros (mostrando contas):
1\\ \text{inch} = 0{,}0254\\ \text{m}.
a = 4{,}300\\ \text{in} = 4{,}300\times0{,}0254\\ \text{m}=0{,}10922\\ \text{m}.
b = 2{,}150\\ \text{in} = 2{,}150\times0{,}0254\\ \text{m}=0{,}05461\\ \text{m}.
Para simplificar as contas, calculo o inverso das dimensões:
\frac{1}{a}\approx 9{,}157\\ \text{m}^{-1},\qquad \frac{1}{b}\approx 18{,}314\\ \text{m}^{-1}.
Também é útil notar que \dfrac{c}{2}=1{,}5\times10^{8}\\ \text{(m/s)}.

Passo 4

Cálculo passo a passo das frequências de corte. Vou avaliar pares (m,n) com m,n baixos e ordenar por f_c. Para cada caso uso a fórmula exibida no Passo 2 e mostro os cálculos intermediários.
  1. Modo \mathrm{TE}_{10} ( m=1,n=0):
\sqrt{\left(\frac{1}{a}\right)^{2}+0^{2}}=\frac{1}{a}\approx9{,}157.
f_{c,10}=1{,}5\times10^{8}\times9{,}157\approx1{,}374\times10^{9}\\ \text{Hz}=1{,}374\\ \text{GHz}.
  1. Modo \mathrm{TE}_{20} ( m=2,n=0):
\frac{2}{a}=2\times9{,}157=18{,}314,
f_{c,20}=1{,}5\times10^{8}\times18{,}314\approx2{,}747\times10^{9}\\ \text{Hz}=2{,}747\\ \text{GHz}.
  1. Modo \mathrm{TE}_{01} ( m=0,n=1):
\frac{1}{b}\approx18{,}314,
f_{c,01}=1{,}5\times10^{8}\times18{,}314\approx2{,}747\times10^{9}\\ \text{Hz}=2{,}747\\ \text{GHz}.
Observação: \mathrm{TE}_{20} e \mathrm{TE}_{01} têm a mesma f_c (degenerescência) porque 2/a=1/b neste guia (pois b=a/2).
  1. Modo \mathrm{TE}_{11} ( m=1,n=1):
\sqrt{\left(\frac{1}{a}\right)^{2}+\left(\frac{1}{b}\right)^{2}} =\sqrt{9{,}157^{2}+18{,}314^{2}} \approx20{,}474,
f_{c,11}=1{,}5\times10^{8}\times20{,}474\approx3{,}071\times10^{9}\\ \text{Hz}=3{,}071\\ \text{GHz}.
Para (1,1) existe também o modo \mathrm{TM}_{11} com a mesma f_c (modos TE e TM compartilham a mesma fórmula de corte quando ambos índices são não nulos). Portanto \mathrm{TE}_{11} e \mathrm{TM}_{11} são dois modos distintos com f_c\approx3{,}071\\ \text{GHz}.
  1. Modo \mathrm{TE}_{21} ( m=2,n=1):
\frac{2}{a}=18{,}314,\quad \frac{1}{b}=18{,}314,
\sqrt{18{,}314^{2}+18{,}314^{2}}=\sqrt{2\times18{,}314^{2}}\approx25{,}903,
f_{c,21}=1{,}5\times10^{8}\times25{,}903\approx3{,}886\times10^{9}\\ \text{Hz}=3{,}886\\ \text{GHz}.
Novamente existe \mathrm{TM}_{21} com a mesma f_c, logo \mathrm{TE}_{21} e \mathrm{TM}_{21} são dois modos distintos com f_c\approx3{,}886\\ \text{GHz}.
  1. Modo \mathrm{TE}_{30} ( m=3,n=0):
\frac{3}{a}=3\times9{,}157=27{,}471,
f_{c,30}=1{,}5\times10^{8}\times27{,}471\approx4{,}121\times10^{9}\\ \text{Hz}=4{,}121\\ \text{GHz}.
Resumo das ocorrências em ordem crescente (mostrando que, quando há degenera‑ ção, há dois modos à mesma f_c):
  • menor f_c: \mathrm{TE}_{10} 1{,}374\\ \text{GHz}.
  • próxima dupla degenerada: \mathrm{TE}_{20} e \mathrm{TE}_{01} 2{,}747\\ \text{GHz}.
  • próxima dupla degenerada: \mathrm{TE}_{11} e \mathrm{TM}_{11} 3{,}071\\ \text{GHz}.
  • próxima dupla degenerada: \mathrm{TE}_{21} e \mathrm{TM}_{21} 3{,}886\\ \text{GHz}.
  • em seguida: \mathrm{TE}_{30} 4{,}121\\ \text{GHz}.
Os primeiros oito modos, contabilizando cada modo físico separado (incluindo as degenerescências TE/TM quando existem), são então: \mathrm{TE}_{10}, \mathrm{TE}_{20}, \mathrm{TE}_{01}, \mathrm{TE}_{11}, \mathrm{TM}_{11}, \mathrm{TE}_{21}, \mathrm{TM}_{21}, \mathrm{TE}_{30}, com as frequências calculadas acima.

Resposta

\mathrm{TE}_{10}:\\\ 1{,}374\\ \text{GHz}
\mathrm{TE}_{20}:\\\ 2{,}747\\ \text{GHz}
\mathrm{TE}_{01}:\\\ 2{,}747\\ \text{GHz}
\mathrm{TE}_{11}:\\\ 3{,}071\\ \text{GHz}
\mathrm{TM}_{11}:\\\ 3{,}071\\ \text{GHz}
\mathrm{TE}_{21}:\\\ 3{,}886\\ \text{GHz}
\mathrm{TM}_{21}:\\\ 3{,}886\\ \text{GHz}
\mathrm{TE}_{30}:\\\ 4{,}121\\ \text{GHz}

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