Um circuito trifásico alimenta duas cargas equilibradas em \Delta ligadas em paralelo, uma composta por resistores de 5 \Omega e outra por resistores de 20 \Omega. Determine a amplitude da corrente de linha total se a tensão de linha é 480 V_{e f}.

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações e pede uma coisa clara.
  • Dado: tensão de linha (valor eficaz) \,V_L=480\\ \mathrm{V_{ef}}.
  • Dado: duas cargas equilibradas em \Delta ligadas em paralelo; cada fase da primeira delta é um resistor de \,5\\ \Omega e cada fase da segunda delta é um resistor de \,20\\ \Omega.
  • Pedido: determinar a amplitude da corrente de linha total.
Observações importantes que vou usar depois (aqui apenas listei os dados; não comecei a resolver ainda):
  • As duas deltas, por estarem em paralelo, ficam ligadas entre os mesmos pares de linhas; portanto em cada ramo entre duas linhas existem os resistores 5\\ \Omega e 20\\ \Omega em paralelo.
  • A tensão aplicada a cada resistor do \Delta é a tensão de linha \,V_L.

Passo 2

Calcular a corrente em cada resistor individual (valor eficaz), usando a lei de Ohm simples porque são resistores puros.
  • Corrente no resistor de 5\\ \Omega:
I_{5}=\frac{V_L}{5}=\frac{480}{5}=96\\ \mathrm{A}.
  • Corrente no resistor de 20\\ \Omega:
I_{20}=\frac{V_L}{20}=\frac{480}{20}=24\\ \mathrm{A}.
Expliquei: aqui usei a fórmula básica de corrente em resistor I=V/R. Como a tensão sobre cada um desses resistores (ligados em delta) é a tensão de linha V_L, basta dividir por suas resistências.

Passo 3

Encontrar a resistência equivalente de cada ramo entre duas linhas (os dois resistores em paralelo).
Fórmula do paralelo para duas resistências R_1 e R_2:
R_{\text{eq}}=\frac{R_1 R_2}{R_1+R_2}.
Aplicando R_1=5\\ \Omega e R_2=20\\ \Omega:
R_{\text{eq}}=\frac{5\cdot20}{5+20}=\frac{100}{25}=4\\ \Omega.
Interpretação: entre cada par de linhas do sistema trifásico existe, em conjunto, um resistor equivalente de 4\\ \Omega (resultado da combinação 5 \parallel20).

Passo 4

Calcular a corrente em cada ramo do \Delta equivalente (valor eficaz) usando R_{\text{eq}}.
I_{\text{fase,eq}}=\frac{V_L}{R_{\text{eq}}}=\frac{480}{4}=120\\ \mathrm{A}.
Nota: aqui chamei de I_{\text{fase,eq}} a corrente que circula em cada ramo da delta equivalente (corrente de fase do arranjo \Delta). Esta é a corrente que circula entre dois pontos de linha (por exemplo entre a e b).

Passo 5

Relacionar a corrente de fase do \Delta com a corrente de linha. Vou explicar direitinho por que aparece o fator \sqrt{3}.
Num circuito \Delta equilibrado de cargas puramente resistivas:
  • a corrente em cada ramo da delta tem mesma magnitude I_{\text{fase}} e defasagem de 120^\circ entre ramos consecutivos (porque as tensões de linha têm o mesmo deslocamento).
  • a corrente de linha em uma fase (por exemplo I_A) é a soma fasorial (diferença) das correntes dos dois ramos que se encontram no ponto de linha A. Por exemplo,
I_A = I_{AB} - I_{CA},
onde I_{AB} é a corrente do ramo entre linhas A e B e I_{CA} a do ramo entre C e A.
Como as duas correntes têm mesma magnitude I_{\text{fase}} e estão defasadas de 120^\circ, podemos calcular a magnitude de I_A por trigonometria/álgebra vetorial:
|I_A|=\sqrt{I_{\text{fase}}^{2}+I_{\text{fase}}^{2}-2I_{\text{fase}}^{2}\cos(120^\circ)}.
Sabendo que \cos(120^\circ)=-\tfrac{1}{2}, obtemos
|I_A|=\sqrt{2I_{\text{fase}}^{2}-2I_{\text{fase}}^{2}\left(-\tfrac{1}{2}\right)} =\sqrt{2I_{\text{fase}}^{2}+I_{\text{fase}}^{2}}=\sqrt{3}\,I_{\text{fase}}.
Portanto, em módulo:
I_L=\sqrt{3}\,I_{\text{fase}}.
Esse é um resultado padrão: para delta equilibrado, corrente de linha é \sqrt{3} vezes a corrente de cada ramo do delta (em magnitude).

Passo 6

Aplicar a relação ao valor que já encontramos de I_{\text{fase,eq}}=120\\ \mathrm{A}.
Corrente de linha (valor eficaz, rms):
I_L=\sqrt{3}\cdot120 \approx 1{,}73205\cdot120 \approx 207{,}8\\ \mathrm{A}.
Se por “amplitude” o enunciado quiser o valor de pico (amplitude senoidal máxima), converte-se pelo fator \sqrt{2}:
I_{\text{pico}}=\sqrt{2}\,I_L \approx 1{,}41421\cdot207{,}8 \approx 293{,}9\\ \mathrm{A}.
Expliquei: normalmente em potência/circuitos usa-se o valor eficaz (valor rms). Como o enunciado deu V_{ef}, a resposta natural é dar I_L também em valor eficaz. Mas incluí também o pico caso a palavra “amplitude” tenha sido usada no sentido de amplitude instantânea máxima.

Resposta

I_L \approx 207{,}8\\ \mathrm{A} (valor eficaz, rms)
I_{\text{pico}} \approx 293{,}9\\ \mathrm{A} (amplitude de pico)

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