- Seja um sistema LCIT com a resposta de estado zero, devido a entrada
, definida por
.
◯ a. Determine a resposta ao impulso do sistema;
b. Assumindo que na reação do sistema estão representadas todas as suas caracteristicas, identifique a equação diferencial que representaria o modelo do sistema no dominio do tempo. Justifique sua resposta
◯ a. Determine a resposta ao impulso do sistema;
b. Assumindo que na reação do sistema estão representadas todas as suas caracteristicas, identifique a equação diferencial que representaria o modelo do sistema no dominio do tempo. Justifique sua resposta
Passo 1
O enunciado dá um sistema linear, invariante no tempo (LCIT) considerado em condição de resposta de estado zero (ou seja, sem condições iniciais não nulas). As informações e pedidos são:
- Entrada fornecida:
. (Note que é .) - Saída correspondente (resposta ao estado zero):
.
Perguntas:
(a) Determinar a resposta ao impulso do sistema.
(b) Assumindo que a resposta do sistema representa todas as suas características, identificar a equação diferencial no domínio do tempo que modela o sistema (e justificar).
(a) Determinar a resposta ao impulso
(b) Assumindo que a resposta do sistema representa todas as suas características, identificar a equação diferencial no domínio do tempo que modela o sistema (e justificar).
Passo 2
Primeiro simplificar a entrada para trabalhar com formas padrão. Desenvolvendo o expoente:
Logo podemos escrever
Vou usar transformada de Laplace porque ela transforma convolução em produto e facilita achar
. Lembrando duas fórmulas básicas de Laplace para sinais causais (
é o degrau unitário):
-
. -
para .
Calcular as transformadas de
e
:
Passo 3
A função de transferência
do sistema (para condições de zero-estado) é a razão
. Calcular:
Portanto
Passo 4
Obter a resposta ao impulso no tempo fazendo a transformada inversa de Laplace de
. Sabe-se que
. Assim
Comentário didático curto: isto significa que o sistema tem uma resposta ao impulso constante (para
), ou seja, ao aplicar um impulso unitário o sistema produz um degrau de amplitude
.
Para conferir (checagem por convolução, mesmo que não seja obrigatória): com
e
,
que coincide com o
dado, confirmando
.
Passo 5
Agora achar a equação diferencial que modela o sistema. Partimos de
com
. Escrevendo
Usamos a propriedade da transformada de Laplace para derivada (assumindo condição de zero-estado/condição inicial nula):
. Como estamos em resposta de estado zero,
(e de fato
pelo
dado), então
. Assim, passando para o domínio do tempo:
Portanto a equação diferencial de primeira ordem que relaciona entrada e saída (no domínio do tempo, com condições de zero-estado) é
com condição inicial (zero-estado)
.
Interpretação física-pedagógica: essa equação descreve um integrador ideal com ganho
— a saída é a integral da entrada vezes esse ganho (ou dito de outra forma, a derivada da saída é proporcional à entrada).
Resposta
(a)
(b)