1. Seja um sistema LCIT com a resposta de estado zero, devido a entrada x(t)= e^{-2(t-0,5)} u(t), definida por y(t)=u(t)-e^{-2 t} u(t).
    ◯ a. Determine a resposta ao impulso do sistema;
    b. Assumindo que na reação do sistema estão representadas todas as suas caracteristicas, identifique a equação diferencial que representaria o modelo do sistema no dominio do tempo. Justifique sua resposta

Passo 1

O enunciado dá um sistema linear, invariante no tempo (LCIT) considerado em condição de resposta de estado zero (ou seja, sem condições iniciais não nulas). As informações e pedidos são:
  • Entrada fornecida: x(t)=e^{-2(t-0,5)}\,u(t). (Note que 0,5 é 0{,}5.)
  • Saída correspondente (resposta ao estado zero): y(t)=u(t)-e^{-2t}\,u(t).
Perguntas:
(a) Determinar a resposta ao impulso h(t) do sistema.
(b) Assumindo que a resposta do sistema representa todas as suas características, identificar a equação diferencial no domínio do tempo que modela o sistema (e justificar).

Passo 2

Primeiro simplificar a entrada para trabalhar com formas padrão. Desenvolvendo o expoente:
e^{-2(t-0,5)} = e^{-2t + 1} = e^{1}\,e^{-2t} = e\,e^{-2t}.
Logo podemos escrever
x(t)=e\,e^{-2t}\,u(t).
Vou usar transformada de Laplace porque ela transforma convolução em produto e facilita achar h(t). Lembrando duas fórmulas básicas de Laplace para sinais causais ( u(t) é o degrau unitário):
  • \displaystyle \mathcal{L}\{u(t)\}=\frac{1}{s}.
  • \displaystyle \mathcal{L}\{e^{-a t}u(t)\}=\frac{1}{s+a} para \operatorname{Re}(s)>-a.
Calcular as transformadas de x(t) e y(t):
X(s)=\mathcal{L}\{x(t)\} = e\cdot\mathcal{L}\{e^{-2t}u(t)\} = e\cdot\frac{1}{s+2}.
Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\} = \mathcal{L}\{u(t)\}-\mathcal{L}\{e^{-2t}u(t)\} = \frac{1}{s}-\frac{1}{s+2}.

Passo 3

A função de transferência H(s) do sistema (para condições de zero-estado) é a razão H(s)=\dfrac{Y(s)}{X(s)}. Calcular:
Y(s)=\frac{1}{s}-\frac{1}{s+2}=\frac{s+2-s}{s(s+2)}=\frac{2}{s(s+2)}.
X(s)=\frac{e}{s+2}.
H(s)=\frac{Y(s)}{X(s)}=\frac{\dfrac{2}{s(s+2)}}{\dfrac{e}{s+2}} =\frac{2}{s(s+2)}\cdot\frac{s+2}{e}=\frac{2}{e}\cdot\frac{1}{s}.
Portanto
H(s)=\frac{2}{e}\cdot\frac{1}{s}.

Passo 4

Obter a resposta ao impulso no tempo fazendo a transformada inversa de Laplace de H(s). Sabe-se que \mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{s}\}=u(t). Assim
h(t)=\mathcal{L}^{-1}\{H(s)\}=\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{2}{e}\cdot\frac{1}{s}\right\}=\frac{2}{e}\,u(t).
Comentário didático curto: isto significa que o sistema tem uma resposta ao impulso constante (para t\ge 0), ou seja, ao aplicar um impulso unitário o sistema produz um degrau de amplitude \tfrac{2}{e}.
Para conferir (checagem por convolução, mesmo que não seja obrigatória): com h(t)=\tfrac{2}{e}u(t) e x(t)=e\,e^{-2t}u(t),
y(t)=(h*x)(t)=\int_{0}^{t}\frac{2}{e}\cdot e\,e^{-2\tau}\,d\tau =\int_{0}^{t}2e^{-2\tau}\,d\tau =\big[-e^{-2\tau}\big]_{0}^{t}=1-e^{-2t},
que coincide com o y(t) dado, confirmando h(t).

Passo 5

Agora achar a equação diferencial que modela o sistema. Partimos de Y(s)=H(s)X(s) com H(s)=\dfrac{2}{e}\dfrac{1}{s}. Escrevendo
s\,Y(s)=\frac{2}{e}\,X(s).
Usamos a propriedade da transformada de Laplace para derivada (assumindo condição de zero-estado/condição inicial nula): \mathcal{L}\{y'(t)\}=s\,Y(s)-y(0^-). Como estamos em resposta de estado zero, y(0^-)=0 (e de fato y(0)=1-1=0 pelo y(t) dado), então sY(s)=\mathcal{L}\{y'(t)\}. Assim, passando para o domínio do tempo:
\mathcal{L}\{y'(t)\}=\frac{2}{e}\,X(s)\quad\Longrightarrow\quad y'(t)=\frac{2}{e}\,x(t).
Portanto a equação diferencial de primeira ordem que relaciona entrada e saída (no domínio do tempo, com condições de zero-estado) é
\frac{d}{dt}y(t)=\frac{2}{e}\,x(t),
com condição inicial (zero-estado) y(0^-)=0.
Interpretação física-pedagógica: essa equação descreve um integrador ideal com ganho \tfrac{2}{e} — a saída é a integral da entrada vezes esse ganho (ou dito de outra forma, a derivada da saída é proporcional à entrada).

Resposta

(a) h(t)=\dfrac{2}{e}\,u(t)
(b) \dfrac{d}{dt}y(t)=\dfrac{2}{e}\,x(t),\quad y(0^-)=0

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