Um circuito trifásico equilibrado é formado por uma fonte em Y ligada a uma carga equilibrada. O valor de cada uma das impedâncias de linha é \mathbf{Z}_{\mathrm{L}}=2+j 0,5 \Omega. A carga recebe 15 kW com um fator de potência de 0,8 atrasado e a tensão de linha é 480 \mathrm{~V}_{\text {ef }}. Determine a tensão eficaz da fonte e a potência complexa fornecida pela fonte.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede (vou assumir que a tensão de linha informada é a tensão linha-a-linha que aparece nos terminais da carga):
  • Fonte trifásica em Y ligada a carga equilibrada por três impedâncias de linha, uma em cada fase.
  • Impedância de cada linha: \mathbf{Z}_{\mathrm{L}}=2+j\,0,5\\ \Omega.
  • A carga recebe potência ativa total P_{\text{carga}}=15\\ \text{kW} com fator de potência \text{pf}=0,8 atrasado (ou seja, indutiva).
  • A tensão de linha (linha a linha) nos terminais da carga é V_{LL,\text{carga}}=480\\ \mathrm{V}_{ef}.
  • O enunciado pede:
    1. Determinar a tensão eficaz da fonte (interpreto como a tensão linha-a-linha RMS na saída da fonte, antes das impedâncias de linha).
    2. Determinar a potência complexa fornecida pela fonte S_{\text{fonte}}.

Passo 2

Determinar a potência complexa absorvida pela carga (passo pedagógico: lembrar que o fator de potência é \cos\varphi, com \varphi sendo o ângulo de fase entre tensão e corrente; para pf atrasado, Q é positivo):
  • \cos\varphi=0,8 \Rightarrow \varphi=\operatorname{arccos}(0,8). Calculemos seno e tangente: \sin\varphi=\sqrt{1-\cos^{2}\varphi}=\sqrt{1-0,8^{2}}=0,6, \qquad \tan\varphi=\frac{\sin\varphi}{\cos\varphi}=\frac{0,6}{0,8}=0,75.
  • Potência reativa total da carga: Q_{\text{carga}}=P_{\text{carga}}\tan\varphi=15{,}0\\ \text{kW}\times 0{,}75=11{,}25\\ \text{kVAR}.
  • Potência complexa total absorvida pela carga: S_{\text{carga}}=P_{\text{carga}}+jQ_{\text{carga}}=15{,}0+j\,11{,}25\\ \text{kVA}.

Passo 3

Passo para achar as correntes de fase (lembrando que a carga é equilibrada e está em Y):
  • A tensão de fase na carga (tensão fase-neutro) para ligação Y é V_{\text{ph,carga}}=\frac{V_{LL,\text{carga}}}{\sqrt{3}}=\frac{480}{\sqrt{3}}=277{,}13\\ \text{V}.(explicação curta: em sistema trifásico equilibrado em Y, V_{LL}=\sqrt{3}\,V_{ph}.)
  • Potência por fase (dividida por 3): S_{\text{ph}}=\frac{S_{\text{carga}}}{3}=(5{,}0+j\,3{,}75)\\ \text{kVA}=5000+j\,3750\\ \text{VA}.
  • Relação entre potência complexa de fase, tensão de fase e corrente de fase: S_{\text{ph}}=V_{\text{ph}} I_{\text{ph}}^{*}. Assim I_{\text{ph}}=\frac{S_{\text{ph}}^{*}}{V_{\text{ph,carga}}}.Calculemos módulo e ângulo para facilitar: |S_{\text{ph}}|=\sqrt{5000^{2}+3750^{2}}=6250\\ \text{VA},\qquad \angle S_{\text{ph}}=\arctan\!\left(\frac{3750}{5000}\right)=36{,}87^\circ.Assumindo V_{\text{ph,carga}} como referência \angle 0^\circ, a corrente de fase tem ângulo -\angle S_{\text{ph}}=-36{,}87^\circ e magnitude |I_{\text{ph}}|=\frac{6250}{277{,}13}=22{,}549\\ \text{A}.Portanto, em forma retangular (útil para multiplicações): I_{\text{ph}}=22{,}549\angle -36{,}87^\circ = 18{,}04 - j\,13{,}53\\ \text{A}.

Passo 4

Calcular a queda de tensão (por fase) nas impedâncias de linha e obter a tensão de fase da fonte:
  • Queda de tensão por fase: V_{\text{queda}}=I_{\text{ph}}\\ \mathbf{Z}_{\mathrm{L}}=(18{,}04 - j\,13{,}53)\,(2+j\,0{,}5).Vamos multiplicar passo a passo (com números): V_{\text{queda}}=42{,}843 - j\,18{,}039\\ \text{V}.(explicação: multiplicação de complexos: (a+jb)(c+jd)=(ac-bd)+j(ad+bc).)
  • Tensão de fase na fonte (soma vetorial): V_{\text{ph,fonte}}=V_{\text{ph,carga}}+V_{\text{queda}}. Como tomamos V_{\text{ph,carga}}=277{,}13\angle 0^\circ, V_{\text{ph,fonte}}=(277{,}13+42{,}843)-j\,18{,}039=319{,}97 - j\,18{,}039\\ \text{V}.
  • Módulo e ângulo da tensão de fase da fonte: |V_{\text{ph,fonte}}|=\sqrt{319{,}97^{2}+(-18{,}039)^{2}}=320{,}45\\ \text{V}, \qquad \angle V_{\text{ph,fonte}}\approx -3{,}22^\circ.
  • Convertendo para tensão linha-a-linha (fonte ligada em Y): V_{LL,\text{fonte}}=\sqrt{3}\,|V_{\text{ph,fonte}}|=\sqrt{3}\times 320{,}45=555{,}08\\ \text{V}_{ef}.(Interpretação: essa é a tensão eficaz linha-a-linha entregue pela fonte, antes das quedas nas impedâncias de linha.)

Passo 5

Calcular a potência complexa fornecida pela fonte (duas formas: somando perdas nas linhas a S_{\text{carga}} ou calculando diretamente 3V_{\text{ph,fonte}}I_{\text{ph}}^{*}). Vou mostrar ambas para checar:
  • Perdas reais por fase nas resistências das linhas: P_{\text{loss,ph}}=|I_{\text{ph}}|^{2}R=22{,}549^{2}\times 2=1{,}016{,}88\\ \text{W}\\ (\approx 1{,}016{,}9\\ \text{W}).Perda real total nas três fases: P_{\text{loss,total}}=3\times 1{,}016{,}88=3{,}050{,}64\\ \text{W}\approx 3{,}051\\ \text{W}.
  • Perdas reativas (reatância das linhas) por fase: Q_{\text{loss,ph}}=|I_{\text{ph}}|^{2}X=22{,}549^{2}\times 0{,}5=254{,}22\\ \text{VAR},total: Q_{\text{loss,total}}=3\times 254{,}22=762{,}66\\ \text{VAR}\approx 0{,}763\\ \text{kVAR}.
  • Então a potência complexa fornecida pela fonte é S_{\text{fonte}}=S_{\text{carga}}+S_{\text{linhas}} =\bigl(15{,}0 + j\,11{,}25\bigr)\\ \text{kVA}+\bigl(3{,}050{,}6 + j\,762{,}7\bigr)\\ \text{VA}.Convertendo unidades para kVA: S_{\text{fonte}}\approx 18{,}05 + j\,12{,}01\\ \text{kVA}.
  • Verificação rápida (usar 3V_{\text{ph,fonte}}I_{\text{ph}}^{*}): S_{\text{fonte}}=3\,V_{\text{ph,fonte}}I_{\text{ph}}^{*}\approx 18{,}049 + j\,12{,}007\\ \text{VA},que coincide com o resultado anterior dentro de arredondamentos.

Resposta

Tensão eficaz da fonte (linha a linha): 555{,}08\\ \mathrm{V}_{ef}
Potência complexa fornecida pela fonte: S_{\text{fonte}}=18{,}05+j\,12{,}01\\ \text{kVA}

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