Considere um circuito \mathrm{Y}-\Delta. As tensões da fonte em Y são \hat{V}_{a}=\left(\frac{208}{\sqrt{3}}\right) \angle-30^{\circ} \mathrm{V}_{\text {ef }}, \hat{V}_{b}= \left(\frac{208}{\sqrt{3}}\right) \angle-150^{\circ} \mathrm{V}_{\text {ef }} e \hat{V}_{c}=\left(\frac{208}{\sqrt{3}}\right) \angle 90^{\circ} \mathrm{V} ef. A carga em \Delta é equilibrada. A impedância de cada fase é \mathbf{Z}=12 \Omega. Determine as correntes de linha e calcule a potência média total dissipada na carga.
Passo 1
O enunciado dá as tensões de fase (fonte em Y) e pede as correntes de linha e a potência média total dissipada na carga \Delta. Dados essenciais (peguei-os do enunciado):
Tensões de fase (phasors, valores eficazes):\hat{V}_{a}=\left(\dfrac{208}{\sqrt{3}}\right)\angle -30^\circ\\ \text{V}, \qquad \hat{V}_{b}=\left(\dfrac{208}{\sqrt{3}}\right)\angle -150^\circ\\ \text{V},
Carga em \Delta perfeitamente equilibrada, impedância por fase:\mathbf{Z}_\Delta = 12\\ \Omega\quad(\text{resistiva, ângulo }0^\circ).
O que é pedido:
Correntes de linha \hat{I}_a,\hat{I}_b,\hat{I}_c (phasors).
Potência média total dissipada na carga (potência ativa P_{\text{total}}).
Passo 2
Estratégia de resolução (por que escolher este caminho): uma forma direta seria calcular as tensões de linha \hat{V}_{ab}=\hat{V}_a-\hat{V}_b etc., obter as correntes de cada ramo do \Delta e combinar por KCL para achar as correntes de linha. Porém existe um atalho muito prático e padrão: converter a carga \Delta equilibrada em uma equivalente estrela (Y). A conversão é simples e reduz a conta porque então cada corrente de linha é simplesmente a tensão de fase dividida pela impedância equivalente de fase. Vou usar essa conversão (é mais direto e evita subtrações de fasores). Explico a fórmula:
Conversão \Delta \to Y: impedância equivalente por fase no Y é\mathbf{Z}_Y = \dfrac{\mathbf{Z}_\Delta}{3}.Aqui \mathbf{Z}_\Delta é a impedância do ramo \Delta e ela é puramente real 12\\ \Omega.
(Faz sentido físico: as correntes de linha ficam balanceadas e com os mesmos ângulos das tensões de fase porque a impedância equivalente é puramente resistiva.)
Passo 5
Checagem alternativa (curta) via correntes de fase do \Delta: se preferir ver pela outra via, as tensões linha a linha têm magnitude exatamente 208\\ \text{V} (porque \sqrt{3}\cdot \dfrac{208}{\sqrt{3}}=208), logo a corrente em cada ramo do \Delta é
\hat{I}_{\text{ramo}}=\dfrac{208\angle\{\text{ângulo do }V_{LL}\}}{12} =\dfrac{208}{12}\angle(\cdots)=\dfrac{52}{3}\angle(\cdots)\\ \text{A}\approx 17{,}333\\ \text{A}.â
E então a relação entre corrente de linha e corrente de ramo em carga \Delta equilibrada dá \left|\hat{I}_{\text{linha}}\right|=\sqrt{3}\left|\hat{I}_{\text{ramo}}\right|, o que devolve \left|\hat{I}_{\text{linha}}\right|=\sqrt{3}\cdot\dfrac{52}{3}=\dfrac{52}{\sqrt{3}}, mesma resposta anterior (confirmando).
Passo 6
Calcular a potência média total dissipada na carga (P_{\text{total}}).
Método 1 (por fase Y equivalente): potência por fase é