Considere um circuito Y-Y de três fios, com sequência de fases a b c. As tensões da fonte em Y são \hat{V}_{a n}=\left(\frac{208}{\sqrt{3}}\right) \angle 0^{0} \mathrm{~V}_{\text {ef }} ; \hat{V}_{b n}=\left(\frac{208}{\sqrt{3}}\right) \angle-120^{0} \mathrm{~V}_{\text {ef }} ; \mathrm{e} \hat{V}_{c n}=\left(\frac{208}{\sqrt{3}}\right) \angle 120^{0} \mathrm{~V}_{\text {ef. A carga ligada em }} Y é equilibrada. A impedância de cada fase é \mathrm{Z}=12 \Omega. Pede-se:
(a) Determine as tensões de linha.
(b) Determine as correntes de linha e as correntes de fase.
(c) Represente as correntes de linha e as correntes de fase em um diagrama fasorial.

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte (resumido e organizado):
  • Dados fornecidos (pegos do enunciado):
    • Tensões de fase (linha-neutro) da fonte em conexão Y, com sequência de fases a\!-\!b\!-\!c:
    \hat{V}_{an}=\left(\frac{208}{\sqrt{3}}\right)\angle 0^\circ\\ \mathrm{V_{ef}}, \qquad \hat{V}_{bn}=\left(\frac{208}{\sqrt{3}}\right)\angle -120^\circ\\ \mathrm{V_{ef}},
\hat{V}_{cn}=\left(\frac{208}{\sqrt{3}}\right)\angle 120^\circ\\ \mathrm{V_{ef}}.
  • Carga em Y equilibrada; impedância de cada fase:
Z = 12\\ \Omega\quad\text{(por fase, resistiva)}.
  • O que é pedido:
    (a) Determinar as tensões de linha (tensões entre fases: V_{ab},V_{bc},V_{ca}).
    (b) Determinar as correntes de linha e as correntes de fase.
    (c) Representar as correntes de linha e de fase em um diagrama fasorial (descrever como plotar e dar as componentes).

Passo 2

Entender a relação entre tensões de fase e tensões de linha numa ligação Y (teoria e dedução passo a passo).
  • Definição/ideia básica:
    • Tensões de fase são as tensões entre cada fase e o neutro: V_{an},V_{bn},V_{cn}.
    • Tensões de linha são as tensões entre condutores de linha: por exemplo V_{ab}=V_{an}-V_{bn}.
    • Em um sistema equilibrado com magnitudes iguais e ângulos defasados de 120^\circ, há uma relação simples entre magnitude de tensão de linha V_{LL} e magnitude da tensão de fase V_{ph}:
    V_{LL}=\sqrt{3}\,V_{ph},
    e cada tensão de linha está defasada 30^\circ em relação à correspondente tensão de fase (ex.: V_{ab} tem ângulo 30^\circ quando V_{an} é referência 0^\circ).
  • Dedução curta e explícita (mostra de onde vem o fator \sqrt{3} e o ângulo 30^\circ):
    Começamos com
    V_{ab}=V_{an}-V_{bn}=V_{ph}\angle 0^\circ - V_{ph}\angle -120^\circ,
    onde escrevemos V_{ph}=\dfrac{208}{\sqrt{3}} (a mesma magnitude para cada fase).
    Escrevendo em forma retangular:
    V_{ph}\angle 0^\circ - V_{ph}\angle -120^\circ =V_{ph}\big(1 - \cos(-120^\circ) - j\sin(-120^\circ)\big).
    Usando \cos(-120^\circ)=-\tfrac{1}{2} e \sin(-120^\circ)=-\tfrac{\sqrt{3}}{2}:
    V_{ab}=V_{ph}\!\left(1 - \left(-\tfrac{1}{2}\right) - j\left(-\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\right) =V_{ph}\!\left(\tfrac{3}{2} + j\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right).
    A magnitude é
    |V_{ab}|=V_{ph}\sqrt{\left(\tfrac{3}{2}\right)^2+\left(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2} =V_{ph}\sqrt{\tfrac{9}{4}+\tfrac{3}{4}}=V_{ph}\sqrt{3} .
    O ângulo é
    \theta=\arctan\!\left(\frac{\tfrac{\sqrt{3}}{2}}{\tfrac{3}{2}}\right)=\arctan\!\left(\tfrac{\sqrt{3}}{3}\right)=30^\circ.
    Portanto
    V_{ab}= \sqrt{3}\,V_{ph}\angle 30^\circ.
    Analogamente obtém-se
    V_{bc}=\sqrt{3}\,V_{ph}\angle -90^\circ, \qquad V_{ca}=\sqrt{3}\,V_{ph}\angle 150^\circ.

Passo 3

Aplicar os valores numéricos para obter as tensões de linha.
  • Primeiro calcule a magnitude da tensão de fase:
    V_{ph}=\frac{208}{\sqrt{3}}\\ \text{V}.
    Numérico aproximado:
    \frac{208}{\sqrt{3}}\approx\frac{208}{1,73205}\approx 120,096\\ \text{V}.
  • Como V_{LL}=\sqrt{3}\,V_{ph}, então
    V_{LL}=\sqrt{3}\cdot\frac{208}{\sqrt{3}}=208\\ \text{V}.
    Usando as direções obtidas no passo anterior:
    \boxed{V_{ab}=208\angle 30^\circ\\ \mathrm{V}},
\boxed{V_{bc}=208\angle -90^\circ\\ \mathrm{V}},
\boxed{V_{ca}=208\angle 150^\circ\\ \mathrm{V}}.
  • (Opcional útil para plotar) Componentes retangulares aproximadas: V_{ab}=208(\cos 30^\circ + j\sin 30^\circ)\approx 180,13 + j104,00\\ \mathrm{V},
V_{bc}=208(\cos(-90^\circ)+j\sin(-90^\circ))\approx 0 - j208,00\\ \mathrm{V},
V_{ca}\approx -180,13 + j104,00\\ \mathrm{V}.

Passo 4

Correntes de fase e de linha — conceito e cálculo passo a passo.
  • Conceito importante (explicação didática):
    • Em uma carga Y ligada ao neutro, a corrente de cada fase I_a,I_b,I_c é a tensão de fase aplicada dividida pela impedância da fase:
    I_a=\frac{V_{an}}{Z},\qquad I_b=\frac{V_{bn}}{Z},\qquad I_c=\frac{V_{cn}}{Z}.
    • Em uma ligação Y-Y equilibrada, cada condutor de linha alimenta diretamente uma fase da carga; por isso a corrente de linha que sai da fonte por cada condutor é igual à corrente de fase da fase correspondente da carga. Logo:
    I_{\text{linha a}}=I_a,\quad I_{\text{linha b}}=I_b,\quad I_{\text{linha c}}=I_c.
  • Cálculo numérico (cada fase tem a mesma magnitude e apenas diferença angular):
    Primeiro escrevemos a corrente em forma fracionária:
    I_a=\frac{V_{an}}{Z}=\frac{\dfrac{208}{\sqrt{3}}\angle 0^\circ}{12} =\frac{208}{12\sqrt{3}}\angle 0^\circ\\ \mathrm{A}.
    Avaliando numericamente:
    \frac{208}{12\sqrt{3}}\approx\frac{208}{20,7846}\approx 10,006\\ \mathrm{A}.
    Assim
    I_a\approx 10,006\angle 0^\circ\\ \mathrm{A}.
    De forma semelhante (apenas os ângulos mudam):
    I_b=\frac{V_{bn}}{Z}=\frac{208}{12\sqrt{3}}\angle -120^\circ\approx 10,006\angle -120^\circ\\ \mathrm{A},
I_c=\frac{V_{cn}}{Z}=\frac{208}{12\sqrt{3}}\angle 120^\circ\approx 10,006\angle 120^\circ\\ \mathrm{A}.
  • Componentes retangulares úteis para plotar o fasor (aproximações): I_a\approx 10,006 + j0\\ \mathrm{A},
I_b\approx 10,006(\cos(-120^\circ)+j\sin(-120^\circ))\approx -5,003 - j8,661\\ \mathrm{A},
I_c\approx -5,003 + j8,661\\ \mathrm{A}.

Passo 5

Diagrama fasorial (como representar e observações físicas).
  • O que desenhar:
    • Trace um eixo real (horizontal) e um eixo imaginário (vertical, positivo para cima).
    • Plote os três vetores de corrente de fase/linha (são idênticos neste Y-Y equilibrado):
      • I_a de magnitude \approx 10,006\\ \mathrm{A} no ângulo 0^\circ (vetor apontando para a direita).
      • I_b de mesma magnitude em -120^\circ (vetor apontando para baixo-esquerda).
      • I_c de mesma magnitude em +120^\circ (vetor apontando para cima-esquerda).
    • Esses três vetores formam um triângulo simétrico com separação angular de 120^\circ.
  • Relação com as tensões:
    • Como a impedância é puramente resistiva ( Z=12\\ \Omega real), cada corrente de fase está em fase com a tensão de fase correspondente: I_a em fase com V_{an}, etc.
    • As tensões de linha V_{ab},V_{bc},V_{ca} têm magnitude 208\\ \mathrm{V} e ângulos 30^\circ, -90^\circ, 150^\circ respectivamente; no diagrama de fasores pode-se mostrar também os vetores V_{an},V_{bn},V_{cn} (cada um defasado 30^\circ atrás do respectivo V_{ab}, por exemplo).
  • Observação prática e verificação rápida:
    • A magnitude das correntes é cerca de 10\\ \mathrm{A}. Ao desenhar, use uma escala (ex.: 1\\ \mathrm{A} = 1\\ \mathrm{cm}) para que os vetores fiquem proporcionais.
    • Coordenadas retangulares dadas no passo anterior ajudam a posicionar precisamente os pontos para desenhar.

Resposta

(a) V_{ab}=208\angle 30^\circ\\ \mathrm{V},\quad V_{bc}=208\angle -90^\circ\\ \mathrm{V},\quad V_{ca}=208\angle 150^\circ\\ \mathrm{V}.
(b) Correntes de fase (e de linha, pois em Y-Y equilibrado são iguais):
I_a=\frac{208}{12\sqrt{3}}\angle 0^\circ\\ \mathrm{A}\approx 10,006\angle 0^\circ\\ \mathrm{A},
I_b=\frac{208}{12\sqrt{3}}\angle -120^\circ\\ \mathrm{A}\approx 10,006\angle -120^\circ\\ \mathrm{A},
I_c=\frac{208}{12\sqrt{3}}\angle 120^\circ\\ \mathrm{A}\approx 10,006\angle 120^\circ\\ \mathrm{A}.
(c) Diagrama fasorial (descrição para plotagem):
  • Plotar três vetores de mesma magnitude \approx 10,006\\ \mathrm{A} com ângulos 0^\circ,\\\ -120^\circ,\\\ +120^\circ para I_a,I_b,I_c respectivamente (componentes retangulares aproximadas: I_a\approx 10,006+j0\\ \mathrm{A}; I_b\approx -5,003 - j8,661\\ \mathrm{A}; I_c\approx -5,003 + j8,661\\ \mathrm{A}).
  • Se desejar, adicionar os vetores de tensão de linha V_{ab},V_{bc},V_{ca} com magnitudes 208\\ \mathrm{V} e ângulos 30^\circ,-90^\circ,150^\circ para comparar fases entre tensões e correntes.

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